数列收敛一定有界吗

Question

如题所述

Answer 1

数列收敛一定有界，（反证，假设无界，肯定不收敛）；有界数列不一定收敛，（反例，数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的。）
收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{xn}收敛于a（极限为a），即数列{xn}为收敛数列（convergentsequences）。 p=""></q成立，就称数列{xn}收敛于a（极限为a），即数列{xn}为收敛数列（convergentsequences）。>
收敛数列与其子数列间的关系：
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<m。 p=""></m。>
若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。
如果数列{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。