初中几何最值——胡不归问题详解

Question

如题所述

Answer 1

在几何最值问题的探索中，我们不仅关注线段的最短，如PA+PB，还常常遇到更为复杂的“PA+kPB”形式。其中，最具挑战性的莫过于“胡不归”模型。这个模型源于一个动人的故事，讲述了少年胡不归为了救治病危的父亲，毅然决然地选择直接走砂石地，虽然路程并非最短，却为故事增添了深沉的情感色彩。

【模型建立】

想象一下，动点P在直线MN外以速度V1移动，而在直线MN上以速度V2移动，V1<V2。固定两点A和B，我们要寻找点C的位置，使得PA+kPB达到最小。这是一个关于速度与路径选择的智慧问题，如何在速度不均的情况下，找到最佳路径呢?

【问题分析】

关键在于，我们需要构造一个巧妙的射线AD，使得sin∠DAN=k，同时保证CH与AC的比例也是k，即CH=kAC。这样，问题就转化为求解BC+CH的最小值。通过构造垂线BH，我们可以将问题转化为求解BC与一个与kPB等价的线段相加的最值。

【问题解决】

通过图形变换，我们可以发现，当过B点作BH垂直于AD，交MN于点C，同时交AD于H点时，BC+CH达到最小。这样的构想将“PA+kPB”型问题巧妙地转化为“PA+PC”型，使得问题简化，易于求解。

【实例解析】

例如，2019年长沙中考的题目，当AB=AC=10，tanA=2时，如何寻找CD+BD的最小值？只需借助三角函数和垂线，问题迎刃而解。而南通中考中的平行四边形ABCD，当∠DAB=60°，AB=6，BC=2时，如何求解PB+PD的最小值，同样需要灵活运用相似三角形和构造定角。

【挑战升级】

在更复杂的题目中，如2014年成都中考的抛物线问题，需要结合函数解析式和运动学原理，找出点M运动时间最短的条件，这既考验了几何的直观理解，也融入了动态优化的策略。

【总结】

“胡不归”模型的精髓在于理解线段之间的等价替换，以及灵活运用三角函数和相似三角形。在解决这类问题时，关键在于构建恰当的辅助线，将复杂问题化简为基本的最值求解。通过解决这些问题，我们不仅能提升几何问题的解决能力，还能体会到数学的智慧和生活中的应用场景。