非齐次线性方程有几个线性无关的解向量？n-r+1个。为什么？这个是基础知识吗？齐次的有类似结论吗？

Question

非齐次线性方程有几个线性无关的解向量？n-r+1个。为什么？这个是基础知识吗？齐次的有类似结论吗？谢谢

Answer 1

齐次的是n-r非齐次的以有三个线性无关的解向量η1，η2，η3为例：

则有η1-η2，η2-η3，η3-η1线性相关(相加等于零)，而任意两个线性无关，所以是n-r+1=3，更多元的同理。齐次线性方程组表达式 ：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零：  Ax=b。

齐次线性方程组求解步骤：

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组。

Answer 2

齐次的是n-r非齐次的以有三个线性无关的解向量η1，η2，η3为例：

则有η1-η2，η2-η3，η3-η1线性相关(相加等于零)，而任意两个线性无关，所以是n-r+1=3，更多元的同理。齐次线性方程组表达式 ：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零：  Ax=b。

扩展资料： 

齐次线性方程组求解步骤：

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组。

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Answer 3

这需要两个结论:
设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明
1.x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
2.AX=b的任意解X可表示成：
X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
证明:(1) 显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.
设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0
则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)
等式两边左乘A,因为 Ax0=b,Aai=0
所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.
因为b是非零向量,所以 k0+k1+...+kn-r=0
所以 (*) 式化为 k1a1+...+kn-ran-r=0.
又因为 α1,α2,...,αn-r 线性无关
所以 k1=k2=...=kn-r=0
进而有 k0=0
所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 线性无关
故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
(2) 由线性方程组解的结构知,Ax=b的任一解可表示为
x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r
= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
令 k0=1-k1-k2-...-kn-r
则 Ax=b的任一解可表示为 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
其中 k0+k1+...+kn-r=1.追问

这个是作为基础知识存在还是属于推论？计算题可以直接用吗？

齐次有类似的结论吗？谢谢

？

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Answer 4

可以这样想，当r（A）=r（A|b）=n的时候，显然方程组有解，这个解就是非齐次方程的特解η。那么好了，当r（A）=r（A|b）比n小的时候，就要加上其次方程的通解ξ。显然ξ无法表示出η，他们线性无关。