已知函数f（x）=（3x2-6x+6）ex-x3．（1）求函数f（x）的单调区间及极值；（2）若x1≠x2满足f（x1）=f（x

Question

已知函数f（x）=（3x2-6x+6）ex-x3．（1）求函数f（x）的单调区间及极值；（2）若x1≠x2满足f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＜0．

Answer 1

（1）由于函数f（x）=（3x²-6x+6）e^x-x³．
则f′（x）=（3x²-6x+6+6x+6）e^x-3x²=3x²（e^x-1），
∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．
则函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），减区间是（-∞，0）．
所以f（x）在x=0处取得极小值f（0）=6，无极大值；
（2）∵f（x₁）=f（x₂），且满足x₁≠x₂，由（1）可知x₁，x₂异号．
不妨设x₁＜0＜x₂，则-x₁＞0．
令g（x）=f（x）-f（-x）=（3x²-6x+6）e^x-x³-[（3x²+6x+6）e^-x+x³]
=（3x²-6x+6）e^x-（3x²+6x+6）e^-x-2x³，
则g′（x）=3x²e^x+3x²e^-x-6x²=3x²（e^x+e^-x-2）≥0，
所以g（x）在R上是增函数，
又g（x₁）=f（x₁）-f（-x₁）＜g（0）=0，∴f（x₂）=f（x₁）＜f（-x₁），
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x₂＜-x₁，即x₁+x₂＜0．