直线的两点式方程

Question

射线OA.OB分别与X轴正半轴成45°和30°，过点P(1,0)做直线AB分别交OA.OB与A,B，当AB的中点C恰好落在直线Y=(1/2)X上时，求直线AB的方程

Answer 1

用伟达定理好弄这个题；
首先假设AB方程为
y=k(x-1)因为它过点P，所以可以这样设；
OA方程为y-x=0;OB方程为y+√3/3x=0;
所以OA，OB直线系系统为（y-x）*（y+√3/3x）=0
把y=kx-k代入系统得
（k-1）(k+√3/3)x^2-[k(k+√3/3)+k(k-1)]x+k^2=0
由伟达定理ax^2+bx+c=0的两根中点横坐标为-b/2a
所以xc=[k(k+√3/3)+k(k-1)]/2（k-1）(k+√3/3) ①;
yc=k(xc-1)=xc/2得xc=2k/(2k-1) ②
所以①=②得k=（3+√3）/2
所以AB方程为
y=（3+√3）(x-1)/2

Answer 2

解
∵kOA=tan45°=1
kOB=tan150°=-√3/3
∴LOA: y=x
LOB: y=-√3/3x
设A(m,m),B(-√3n,n)
∴AB的中点坐标为C[(m-√3n)/2,(m+n)/2]
∵C在y=x/2上，且kPA=kPB得

(m+n)/2=1/2*(m(m-√3n)/2)/2
m/(m-1)=n/(-√3*n-1)

解得:m=√3
∴A点坐标为:(√3,√3)

再由两点公式
LAB: （y-0)/（√3-0)=(x-1)/(√3-1)
即:y=(3+√3)(x-1)/2

Answer 3

解：
因为射线OA.OB分别与X轴正半轴成45°和30°
所以设A(a,a)B(-√3b,b).
则AB的中点C[(a-√3b)/2,(a+b)/2]
且C恰好落在直线Y=(1/2)X上，所以,(a+b)/2=(1/2)*(a-√3b)/2……①
且Kap=Kbp,所以a/(a-1)=b/(-√3b-1)……②
方程①②联立，
解出a=√3
则A(√3,√3)
则由AP两点求直线AB的方程为：(3+√3)x-2y-(3+√3)=0

Answer 4

Answer 5

解：
OA方程：y=x
OB方程：y=-x/√3
设AB方程为y=k(x-1)
与OA方程联立得A点坐标：(k/(k-1),k/(k-1))
与OB方程联立得B点坐标：(k√3/(k√3+1),-k/(k√3+1))
AB中点C的坐标为：([k/(k-1)+k√3/(k√3+1)]/2,[k/(k-1)-k/(k√3+1)]/2)
C点在y=(1/2)x上，所以：
把C点坐标代入方程得：
[k/(k-1)-k/(k√3+1)]/2=[k/(k-1)+k√3/(k√3+1)]/4
化简为：
2/(k-1)-2/(k√3+1)=1/(k-1)+√3/(k√3+1)
1/(k-1)=(2+√3)/(k√3+1)
k√3+1=(2+√3)k-(2+√3)
2k=3+√3
k=(3+√3)/2
∴AB方程为：y=[(3+√3)/2](x-1)
一般式：(3+√3)x-2y-(3+√3)=0