中考数学试题详解

Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
① AD=BE；
② PQ‖AE；
③ AP=BQ；
④ DE=DP；
⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）
要正确的理由额

Answer 1

①对 ∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC＝BC,∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD,即∠ACD＝∠BCE,∵DE＝CE,AC＝BC,∠ACD＝∠BCE,∴△ADC≌△BEC(SAS),∴AD＝BE(全等三角形的对应边相等）
②对 ∵△ADC≌△BEC,∴∠EAD＝∠CBE（全等三角形的对应角相等），∵∠BCA＝∠DCE＝60°,∴∠BCD＝180°－2×60°＝60°,∴∠BCA＝∠BCD,∵∠EAD＝∠CBE,AC＝BC,∠BCA＝∠BCD,∴△APC≌△BQC（ASA）,∴PC＝QC（全等三角形的对应边相等），∴∠CPQ＝60°(等腰三角形性质）,∴∠CPQ＝∠BCA,∴PQ‖AE(内错角相等，两直线平行）
③对 ∵△APC≌△BQC(上题已证），∴AP＝BQ（全等三角形的对应边相等）
④错 你知道就不说了
⑤对 ∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝ABC＝60°,△ABO由∠BAO,∠ABO和∠AOB构成，∵∠CBE＝∠EAD（之前已证），∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO＝180°－（60°－∠EAD）－（60°＋∠EBC）＝180°－60°－60°＝60º,∴∠AOB＝60°

Answer 2

结论为1，2，3，5对，4错
证明如下：（此题为本人亲自所做，所以叙述没有参考答案标准，希望你能理解，这里我做了辅助线，即补成一个大三角形（延长AB，ED交点M），顶角为M，即大等边三角形MAE，希望你自己画出。。。，必须画出才好看）

1，在△EBM和△ADE中 BM=DE,EM=AE,∠AME=∠AED 所以它们全等，所以AD=BE即1正确

2，因为BC平行ME 所以∠CBQ=∠CAP, 又BC=AC ∠ACB=∠PCQ=60度 所以△ACP和△BCQ全等，所以PC=QC 即△PCQ为正△ 所以∠CPQ=∠PCA 可推出PQ平行AE 故2也对

3，由2中△ACP和△BCQ全等，可直接得到 AP=BQ，故3也对

4，由 AP=BQ AD=BE可知PD=QE 所以证4成立可证PD=QE=DE成立，而QE=DE成立，则可知△EQD和△EQC都是等边△ 这是不可能的， 所以4错误

5，由△ACP和△BCQ全等可知∠PBO=∠CAP 所以∠PBO+∠PAB=90度 又因为∠PBA=60度 所以△OBA中可知剩下的∠BOA=60度 所以5也对
综上所述 答案为1，2，3，5正确，4错误
再次说明：很多地方用语不标准且符号不规范，但我觉得你懂得原理方法就行了，希望对你有帮助，献丑了。。。。。。