以a为底的X的对数 的导数是1/xlna,以e为底的是1/x
logax=lnx/lna
∫logaxdx=∫lnx/lnadx=1/lna*∫lnxdx
设lnx=t,则x=e^t
∫lnxdx=∫tde^t=te^t-∫e^tdt=te^t-e^t=xlnx-x
所以∫logaxdx=1/lna*∫lnxdx=(xlnx-x)/lna
扩展资料
常用导数公式:
1、y=c(c为常数) y'=0
2、y=x^n y'=nx^(n-1)
3、y=a^x y'=a^xlna,y=e^x y'=e^x
4、y=logax y'=logae/x,y=lnx y'=1/x
5、y=sinx y'=cosx
6、y=cosx y'=-sinx
7、y=tanx y'=1/cos^2x
8、y=cotx y'=-1/sin^2x
9、y=arcsinx y'=1/√1-x^2
①知识点定义来源&讲解:
log的导数公式是一个重要的微积分概念,它是指对数函数的导数计算方法。导数是描述函数变化率的工具,它可以告诉我们函数在某一点的切线斜率。log的导数公式可以帮助我们计算对数函数在某一点的导数。
②知识点运用:
log的导数公式在很多领域中被广泛运用。在数学上,它可以用于求解各种复杂函数的导数,包括指数函数、对数函数和幂函数的组合。在物理学中,log的导数公式可以用于描述一些与量的变化率有关的问题,比如放射性衰变的速率。此外,在金融学和经济学中,log的导数公式也被应用于计算复利和相关利率等问题。
③知识点例题讲解:
现在我们来看一个例子,求解log函数的导数。
例题:求函数 f(x) = log(x) 的导数。
解析:
根据对数的定义,log(x) 是以 e(自然对数的底)为底的函数。我们可以利用导数的定义来求解它的导数。
首先,导数可以通过极限来定义。对 f(x) = log(x) ,我们可以表示导数为:
f'(x) = lim[(log(x + h) - log(x)) / h] ,其中 h -> 0
我们可以利用对数的性质来化简这个极限:
f'(x) = lim[log((x + h) / x) / h] ,其中 h -> 0
接下来,我们可以利用极限的性质来计算这个极限。通过对 (x + h) / x 应用 l'Hôpital's 法则,我们有:
f'(x) = lim[1 / (x + h) / x] ,其中 h -> 0
将 h 替换为 0 ,我们可以得到最终的导数表达式:
f'(x) = 1 / x
所以,log(x) 的导数是 1 / x 。
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