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第1个回答 2009-04-18
2009年福建省普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题
参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C 11．B 12．A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13．15；14． ；15． ；16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与-眭质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分.
解： ……………………………………………………(4分)
………………………………………(6分)
…………………………………………………(8分)
…………………………………………(10分)
即 时，f(x)单调递增.
∴f(x)单调递增区间为[ ， ] ……………………(12分)
18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查化归与转化的思想方法：考查推理与运算能力．满分12分．
解：(Ⅰ)∵an+1=an+c,a1=1,c为常数,
∴an=1+(n-1)c.………………………………………………………………(2分)
∴a2=1+c,a5=1+4c.
又a1,a2,a5成等比数列,
∴(1+c)2=1+4c,解得c=0或c=2……………………………………………(4分)
当c=0,an+1=an不合题意,舍去.
∴c=2.………………………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n-1,
∴ ，……………(10分)
∴Sn=b1+b2+…+bn
=
=
= .……………………………………………………………(12分)
19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力，逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．
解法一：如图，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 D-xyz，由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2, 0)、C(0,2,0)、Bl(2,2,2)、Dl(0,0,2)、E(1,0,2)、F(0,2,1)． …………………………………………(2分)
(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是 =(2,2,2)．………………………(4分)
又∵ =(-1,2,-1)，
由 • = -2+4-2=0，
∴ ⊥ ，而EF 平面ACD1，
∴EF‖平面ACD1……………………(6分)
(Ⅱ) ∵ =(0,2，0)，
cos< , >=
∴异面直线EF与AB所成的角为arccos ……………………(8分).
(Ⅲ)∵BP= ，∴P(2，2， ).
设 =(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则
∵ =(0，2， ), =(-2，2，0)，
∴ 取 .
易知 是平面ACB的一个法向量，
∴cos< ， >= …………(10分)
∴二面角P-AC-B的大小为30°. ………………………………(12分)
解法二：(Ⅰ)同解法一知(Ⅰ)同解法一知 =(-1,2，-1) ， =(-2,0，2)，
= (-2,2，0)，∴ - = ，
∴ 、 、 共面.
又∵EF 平面ACD1，∴EF‖平面ACD1. ……………………………(4分)
(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．
解法三：(Ⅰ)取AD1的中点K，连结EK、KC，在△AA1D1
中，EK‖AA1，且EK= AA1，
∵FC= CC1，CC1‖AA1，∴FC EK，
∴四边形EKCF为平行四边形，
∴EF‖CK．又∵CK 平面ACD1，
EF 平面ACD1，∴EF‖平面ACD1. (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF‖CK，又AB‖CD，
∴∠DCK就是异面直线AB和EF所成的角(或补角)．
连DK，∵CD⊥平面AD1，DK 平面AD1，
∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK= ，∴tan∠DCK= ，
∴异面直线AB和EF所成的角为arctan ．…………………(8分)
(Ⅲ)连结BD交AC于O，连OP，
∵四边形ABCD为正方形，∴BO⊥AC，
而OB是PO在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得OP⊥AC，
∴∠BOP为二面角P—AC—B的平面角．
…………………………(10分)
在RtΔPBO中，tan∠BOP=
∴二面角P-AC-B的大小为30°．
…………………(12分)
解法四：(Ⅰ)取D1C1的中点H，连结EH，FH，A1C1，
∵E为A1D1的中点，∴EH‖AlCl，
而A1C1‖AC，∴EH‖AC，
又∵F为CC1的中点，∴HF‖D1C．
∵EH与HF相交，D1C与AC相交，
∴平面EHF‖平面ACD1，EF 平面EHF，
∴EF‖平面ACD1． ………………(4分)
(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三．
20．本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．
解：(Ⅰ)依题意设v=kω2，……………………………………………………(2分)
又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，…………………………………(3分)
故v =6000ω2．………………………………………………………(4分)
(Ⅱ)设这颗钻石的重量为a克拉，
由(Ⅰ)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为
6000( a)2+6000( a)2．…………………………………………… (6分)
价值损失为
6000a2一[6000( a)2+6000( a)2]．…………………………………(7分)
价值损失的百分率为
答：价值损失的百分率为37.5％．……………………………………(8分)
(Ⅲ)证明：价值损失的百分率应为
，
等号当且仅当m=n时成立.
即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)
21．本小题主要考查导数、函数的极值、方程与不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能力．满分12分．
解：(Ⅰ) =3ax2+2bx -1，……………………………………………………………(2分)
依题意， = =0，即
解得a= ，b= ，经检验a= ，b= 符合题意.
∴ .…………………………………………(4分)
(Ⅱ)曲线y=f(x)与g(x)=-3x -m(-2≤x≤0)有两个不同的交点，
即 在[-2，0] 有两个不同的实数解.………………(5分)
设φ(x)= ，则 ，……………(7分)
由 ，得x= 4或x= -1，
∵x∈[-2，0]，
∴当x(-2,-1)时， ，于是φ(x)在[-2,-1]上递增；
当x(-1,0)时， ，于是φ(x)在[-1,0]上递减. ……………………(9分)
依题意有 ………………(11分)
解得0≤m< ……… (12分)
22．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分14分．
解法一：(Ⅰ)连CA，过C作CD⊥l1，垂足为D，由已知可得|CA|=|CD|，
∴点C的轨迹是以A为焦点，l1为准线的抛物线，
∴轨迹E的方程为x2=4ay ……………………………………………(4分)
(Ⅱ)直线l2的方程为y=kx+a，与抛物线方程联立消去y得x2-4akx-4a2=0．
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=4ak，x1x2=-4a2<0. ……………(6分)
(1)若tanα=1,即k=1,此时x1+x2=4a , x1x2=-4a2.
∴SΔBPQ=SΔABP+SΔABQ=a|x1|+a|x2|
=a|x2-x1|
=a
=a
=a
=4 a2 .…………………………………………(8分)
∴4 a2= ，注意到a>0,∴a = ………………………………(9分)
(2) 因为直线PA的斜率k≠O，易得点R的坐标为( ,-a).……(10分)
|PR|•|QR|= • ＝（x1+ ，y1+a）•（x2+ ，y2+a）
=（x1+ ）（x2+ ）+（kx1+2 a）（kx2+ 2a）
=(1+k2) x1 x2+( +2 ak)( x1+x2)+ +4a2
= -4a2(1+k2)+4ak( +2ak)+ +4a2
=4a2(k2+ )+8a2，
∵k2+ ≥2，当且仅当k2=1时取到等号．……………………(12分)
又α∈[ , ],k∈[ ,1],∴上述不等式中等号能取到．…(13分)
从而|PR|•|QR|的最小值为16a2. ………………………………(14分)
解法二：(I)同解法一．
(Ⅱ)设直线l2的方程为y=kx+a，
把直线方程与抛物线方程联立消去y得 x2-4akx-4a2=0. ………………………(6分)
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=4ak，x1x2=-4a2<0. ………………………(6分)
(1)∵tanα=1，即k =1，
此时x1+x2=4a，x1x2=-4a2，
过P、Q引直线l1的垂线，垂足为M、N，
则|PQ|=|PM|+|QN|=y1+y2+2a
=x1+x2+4a=8a,
又点B到直线l2的距离d= = a .
∴SΔBPQ= d•|PQ|=4 a2, ………………………………………………(8分)
4 a2= ，注意到a>0，∴a= .………………………………………(9分)
(2) |PR|•|QR|= |x1-xR|• |x2-xR|
=(1+k2)•(x1+ )(x2+ )，
下同解法一．
参考资料：http://www.12999.com/showzip.php?id=31479
参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C 11．B 12．A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13．15；14． ；15． ；16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与-眭质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分.
解： ……………………………………………………(4分)
………………………………………(6分)
…………………………………………………(8分)
…………………………………………(10分)
即 时，f(x)单调递增.
∴f(x)单调递增区间为[ ， ] ……………………(12分)
18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查化归与转化的思想方法：考查推理与运算能力．满分12分．
解：(Ⅰ)∵an+1=an+c,a1=1,c为常数,
∴an=1+(n-1)c.………………………………………………………………(2分)
∴a2=1+c,a5=1+4c.
又a1,a2,a5成等比数列,
∴(1+c)2=1+4c,解得c=0或c=2……………………………………………(4分)
当c=0,an+1=an不合题意,舍去.
∴c=2.………………………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n-1,
∴ ，……………(10分)
∴Sn=b1+b2+…+bn
=
=
= .……………………………………………………………(12分)
19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力，逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．
解法一：如图，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 D-xyz，由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2, 0)、C(0,2,0)、Bl(2,2,2)、Dl(0,0,2)、E(1,0,2)、F(0,2,1)． …………………………………………(2分)
(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是 =(2,2,2)．………………………(4分)
又∵ =(-1,2,-1)，
由 • = -2+4-2=0，
∴ ⊥ ，而EF 平面ACD1，
∴EF‖平面ACD1……………………(6分)
(Ⅱ) ∵ =(0,2，0)，
cos< , >=
∴异面直线EF与AB所成的角为arccos ……………………(8分).
(Ⅲ)∵BP= ，∴P(2，2， ).
设 =(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则
∵ =(0，2， ), =(-2，2，0)，
∴ 取 .
易知 是平面ACB的一个法向量，
∴cos< ， >= …………(10分)
∴二面角P-AC-B的大小为30°. ………………………………(12分)
解法二：(Ⅰ)同解法一知(Ⅰ)同解法一知 =(-1,2，-1) ， =(-2,0，2)，
= (-2,2，0)，∴ - = ，
∴ 、 、 共面.
又∵EF 平面ACD1，∴EF‖平面ACD1. ……………………………(4分)
(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．
解法三：(Ⅰ)取AD1的中点K，连结EK、KC，在△AA1D1
中，EK‖AA1，且EK= AA1，
∵FC= CC1，CC1‖AA1，∴FC EK，
∴四边形EKCF为平行四边形，
∴EF‖CK．又∵CK 平面ACD1，
EF 平面ACD1，∴EF‖平面ACD1. (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF‖CK，又AB‖CD，
∴∠DCK就是异面直线AB和EF所成的角(或补角)．
连DK，∵CD⊥平面AD1，DK 平面AD1，
∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK= ，∴tan∠DCK= ，
∴异面直线AB和EF所成的角为arctan ．…………………(8分)
(Ⅲ)连结BD交AC于O，连OP，
∵四边形ABCD为正方形，∴BO⊥AC，
而OB是PO在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得OP⊥AC，
∴∠BOP为二面角P—AC—B的平面角．
…………………………(10分)
在RtΔPBO中，tan∠BOP=
∴二面角P-AC-B的大小为30°．
…………………(12分)
解法四：(Ⅰ)取D1C1的中点H，连结EH，FH，A1C1，
∵E为A1D1的中点，∴EH‖AlCl，
而A1C1‖AC，∴EH‖AC，
又∵F为CC1的中点，∴HF‖D1C．
∵EH与HF相交，D1C与AC相交，
∴平面EHF‖平面ACD1，EF 平面EHF，
∴EF‖平面ACD1． ………………(4分)
(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三．
20．本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．
解：(Ⅰ)依题意设v=kω2，……………………………………………………(2分)
又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，…………………………………(3分)
故v =6000ω2．………………………………………………………(4分)
(Ⅱ)设这颗钻石的重量为a克拉，
由(Ⅰ)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为
6000( a)2+6000( a)2．…………………………………………… (6分)
价值损失为
6000a2一[6000( a)2+6000( a)2]．…………………………………(7分)
价值损失的百分率为
答：价值损失的百分率为37.5％．……………………………………(8分)
(Ⅲ)证明：价值损失的百分率应为
，
等号当且仅当m=n时成立.
即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)
21．本小题主要考查导数、函数的极值、方程与不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能力．满分12分．
解：(Ⅰ) =3ax2+2bx -1，……………………………………………………………(2分)
依题意， = =0，即
解得a= ，b= ，经检验a= ，b= 符合题意.
∴ .…………………………………………(4分)
(Ⅱ)曲线y=f(x)与g(x)=-3x -m(-2≤x≤0)有两个不同的交点，
即 在[-2，0] 有两个不同的实数解.………………(5分)
设φ(x)= ，则 ，……………(7分)
由 ，得x= 4或x= -1，
∵x∈[-2，0]，
∴当x(-2,-1)时， ，于是φ(x)在[-2,-1]上递增；
当x(-1,0)时， ，于是φ(x)在[-1,0]上递减. ……………………(9分)
依题意有 ………………(11分)
解得0≤m< ……… (12分)
22．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分14分．
解法一：(Ⅰ)连CA，过C作CD⊥l1，垂足为D，由已知可得|CA|=|CD|，
∴点C的轨迹是以A为焦点，l1为准线的抛物线，
∴轨迹E的方程为x2=4ay ……………………………………………(4分)
(Ⅱ)直线l2的方程为y=kx+a，与抛物线方程联立消去y得x2-4akx-4a2=0．
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=4ak，x1x2=-4a2<0. ……………(6分)
(1)若tanα=1,即k=1,此时x1+x2=4a , x1x2=-4a2.
∴SΔBPQ=SΔABP+SΔABQ=a|x1|+a|x2|
=a|x2-x1|
=a
=a
=a
=4 a2 .…………………………………………(8分)
∴4 a2= ，注意到a>0,∴a = ………………………………(9分)
(2) 因为直线PA的斜率k≠O，易得点R的坐标为( ,-a).……(10分)
|PR|•|QR|= • ＝（x1+ ，y1+a）•（x2+ ，y2+a）
=（x1+ ）（x2+ ）+（kx1+2 a）（kx2+ 2a）
=(1+k2) x1 x2+( +2 ak)( x1+x2)+ +4a2
= -4a2(1+k2)+4ak( +2ak)+ +4a2
=4a2(k2+ )+8a2，
∵k2+ ≥2，当且仅当k2=1时取到等号．……………………(12分)
又α∈[ , ],k∈[ ,1],∴上述不等式中等号能取到．…(13分)
从而|PR|•|QR|的最小值为16a2. ………………………………(14分)
解法二：(I)同解法一．
(Ⅱ)设直线l2的方程为y=kx+a，
把直线方程与抛物线方程联立消去y得 x2-4akx-4a2=0. ………………………(6分)
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=4ak，x1x2=-4a2<0. ………………………(6分)
(1)∵tanα=1，即k =1，
此时x1+x2=4a，x1x2=-4a2，
过P、Q引直线l1的垂线，垂足为M、N，
则|PQ|=|PM|+|QN|=y1+y2+2a
=x1+x2+4a=8a,
又点B到直线l2的距离d= = a .
∴SΔBPQ= d•|PQ|=4 a2, ………………………………………………(8分)
4 a2= ，注意到a>0，∴a= .………………………………………(9分)
(2) |PR|•|QR|= |x1-xR|• |x2-xR|
=(1+k2)•(x1+ )(x2+ )，
下同解法一．
参考资料：http://www.12999.com/showzip.php?id=31479
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