2009年门头沟区初三年级第一次统一练习
数学试卷评分参考
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C C B C D
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
题号 9 10 11 12
答案
－15 8
三、解答题（共5道小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
计算：
解：
= ……………………………………………………………………4分
= ． ……………………………………………………………………………5分
14．（本小题满分5分）
解不等式组
解：解不等式 ①，得x＜2 ． …………………………………………………………… 2分
解不等式 ②，得x＞－1． ……………………………………………………………4分
∴原不等式组的解集是－1＜x＜2． …………………………………………………5分
15．（本小题满分5分）
证明： ，
∴ ， ． ……………2分
又 ，
∴ ． …………………………………3分
在△ABC和 △CDE中，
∴ ．…………………………………………………………4分
∴BC=DE． …………………………………………………………………………5分
16．（本小题满分5分）
解：
……………………………………………………2分
………………………………………………………… 3分
．………………………………………………………………………………4分
当 时，原式 ． …………………………………………………… 5分
17．（本小题满分5分）
解：（1）∵反比例函数 的图象经过点 ,
∴ ．
∴反比例函数的解析式是 ． …………1分
点 在反比例函数 的图象上，
∴ ．
∴ ．……………………………………2分
（2）当 或 时，一次函数的值大于反比例函数的值． ………………4分
（3）将一次函数图象向右平移1个单位长度后所得函数图象的解析式是y=－x．…5分
四、解答题（共2道小题，共10分）
18. （本小题满分5分）
解：如图，过点A作AF⊥BC于点F． ……………1分
∠D=90°，
∴ ．
又 ，
∴四边形AFCD是矩形．
∴FA=CD= ． …………………………………2分
在Rt△AFB中，∠B=60°，
∴BF = AF÷tan60°= ÷ =4．………………3分
∴AD=FC =BC－BF=9－4=5． …………………………………………………………4分
在Rt△ADE中，∠D=90°，
，
∴ ．
∴ ．………………………………………………………………………………5分
19．（本小题满分5分）
解：（1）直线CE与⊙O相切．
证明：如图，连结 OD．
∵AD平分∠FAE，
∴∠CAD=∠DAE．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAE．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD‖AC．
∵EC⊥AC，
∴OD⊥EC．
∴CE是⊙O的切线． ……………………………………………………………2分
（2）如图，连结BF．
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB=90°．
∵∠C=90°，
∴∠AFB=∠C．
∴BF‖EC．
∴AF∶AC= AB∶AE．
∵ AF∶FC=5∶3，AE=16，
∴5∶8=AB∶16．
∴AB= 10．……………………………………………………………………………5分
五、解答题（本题满分5分）
20．（本小题满分5分）
解：（1）补全图1、图2 ……………………………………………………………………2分
（2） （本）．
这100名学生一个学期平均每人阅读课外书籍3本 ．……………………… 3分
3000×3=9 000 ．
估计这个学校学生一个学期阅读课外书籍共9000本．……………………… 4分
（3）根据图表能提出积极看法的给分． ……………………………………………5分
六、解答题（共2道小题，共10分）
21．（本小题满分5分）
解：设甲班捐献文具x件,乙班捐献文具y件． …………………………………………1分
依题意，得 ………………………………………………………………3分
解得 ………………………………………………………………………4分
答：甲班捐献文具120件,乙班捐献文具140件． ……………………………………5分
22．（本小题满分5分）
解：（1）3种拼法各1分 ………………………………………………………………3分
（2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是定值，这个定值是12． ……………4分
（3）三种方法所拼得的平行四边形的周长不是定值，它们的周长分别是 、
、 ． ………………………………………………………5分
七、解答题（本题满分7分）
23．（1）证明：令 ．
得△= = ．
不论m为任何实数，都有 ＞0，即△＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为任何实数，二次函数的图象与x轴都有两个交点. …………………2分
（2）解： 二次函数图象的开口向上，且与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，
∴当x=1时，y=12＋2m＋m－7＜0．
解得m＜2．① ………………………………………………………………………3分
关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴△= ≥0，且m2≠0．
解得 m≥ ，且m≠0．② ……………………………………………………4分
m为整数，
由①、②可得m的值是1．…………………………………………………………5分
（3）解：当m=1时，方程 为 ．
由求根公式，得 ．
∴ x=－2a－1或x=－1． …………………………………………………………6分
方程有大于0且小于5的实数根，
∴0＜－2a－1＜5．
∴－3＜a＜ ．
∴a的整数值为－2，－1． ………………………………………………………7分
八、解答题（本题满分7分）
24．解：（1） 抛物线 过B（1，0）、C（0，3）两点，
∴ 解得
∴ 抛物线的解析式为 y＝－x 2－2x＋3．…………………………………………1分
由y＝－x 2－2x＋3可得 A点坐标为（ ，0）．
设直线AC的解析式为 ，
∴ 解得
∴ 直线AC的解析式为 ．……………………………………………2分
（2） OA＝OC＝3，OB＝1，
∴△AOC是等腰直角三角形，AC＝ ，AB＝4．
∴∠ECO＝45°．
∠AEO＝∠ABC，∠EAO＝∠BAC，
∴△AEO∽△ABC．
∴ ．
∴ ．
∴AE= ．
∴CE＝AC－AE＝ － = ．
过点E作EH⊥y轴于H．
可得EH＝CH＝1，OH＝2．
∴E点的坐标为（－1， 2）．
抛物线y＝－x 2－2x＋3顶点D的坐标为（－1，4），
∴ED=2．……………………………………………………………………………3分
∴MF＝ED＝2．
F在线段AC上，M在抛物线y＝－x 2－2x＋3上，
∴设F点的坐标为（x，x＋3），M点的坐标为（x，－x2－2 x＋3）．
∴－x2－2 x＋3－（x＋3）=2．
解得x1= －2，x2= －1 (不合题意，舍去)．
∴F点的坐标为（－2，1）．
∴FN＝NA＝1．
在x轴上存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形．
当FP‖MA时，可得 ．
∴ ．
∴ ．
∴P点的坐标为（－73 ，0）． ……………………………………………………4分
当MP‖FA时，可得 ．
∴PN＝3．
∴P点的坐标为（－5，0）． ……………………………………………………5分
∴在x轴上存在点P使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形，点P的坐标为（－73 ，0）或（－5，0）．
（3） 当 时，锐角 ；
当 时，锐角 ；
当 时，锐角 ．………………………………………7分
九、解答题（本题满分8分）
25．解：（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE= FE．…………………………………2分
（2）（1）中的结论仍然成立．
如图2，连结CF，延长EF交CB于点G．
∵
∴ DE‖BC．
∴∠EDF=∠GBF．
又∵ ，DF=BF，
∴ △EDF≌△GBF．
∴ EF=GF，BG＝DE＝AE．
∵ AC=BC，
∴ CE=CG．
∴∠EFC=90°，CF=EF．
∴ △CEF为等腰直角三角形．
∴∠CEF=45°．
∴CE= FE……………………………………………………………………5分
（3）（1）中的结论仍然成立．
如图3，取AD的中点M,连结EM，MF,取AB的中点N,连结FN，CN，CF．
∵DF=BF，
∴
∵AE=DE，∠AED=90°,
∴AM=EM，∠AME=90°.
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴ ，∠ANC=90°.
∴ ，FM=AN =CN.
∴四边形MFNA为平行四边形.
∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA.
∴∠EMF=∠FNC.
∴△EMF≌△FNC.
∴FE = CF，∠EFM=∠FCN.
由 ，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°.
∴∠FCN＋∠PFC=90°.
∴∠EFM＋∠PFC=90°.
∴∠EFC=90°.
∴ △CEF为等腰直角三角形．
∴∠CEF=45°.
∴ CE= FE．……………………………………………………………………8分
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