阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表

Question

阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x-1|＞2．如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；例3：解方程|x-1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=-3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为______；（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；（3）若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7．（3分）

（2）∵3和-4的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．
当x在3的右边时，如图，

易知x≥4．（5分）
当x在-4的左边时，如图，

易知x≤-5．（7分）
∴原不等式的解为x≥4或x≤-5（8分）

（3）原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．（9分）
当x≥3时，|x-3|-|x+4|应该恒等于-7，
当-4＜x＜3，|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小，
当x≤-4时，|x-3|-|x+4|=7，
即|x-3|-|x+4|的最大值为7．（11分）
故a≥7．（12分）