点到直线距离公式的推导如下：
本文默认情况下，直线的方程为l:Ax+By+C=0，A，B均不为0，斜率为kl，点的坐标为P(x0，y0)，点P到l的距离为d。
1、推导一（面积法）
如上图所示，设R(xR,y0)，S(x0,yS)，由R，S在直线l上，得到：
AxR+By0+C=0，Ax0+ByS+C=0，所以：x1=−By0−CA，y2=−Ax0−CB，所以：|PR|=|x0−x1|=|Ax0+By0+CA|，|PS|=|y0−y2|=|Ax0+By0+CB|，于是：|RS|=|PR|2+|PS|2=A2+B2AB⋅|Ax0+By0+C|，所以从三角形面积公式知：d⋅|RS|=|PR|⋅|PS|，从而有：d=|Ax0+By0+C|A2+B2。
2、推导二（三角函数斜率法）
如上图所示，直线的倾角为α，同推导一，|PR|=|x0−x1|=|Ax0+By0+CA|，d=||PR|sin∠PRQ|=||PR|sinα|，又有|tanα|=|kl|=|AB|及三角函数公式1tan2α=1sin2α−1，代入消去α，便有：d=|Ax0+By0+C|A2+B2。
3、推导三（求点法）
如上图所示：因为kPQ⋅kl=−1，所以kPQ=BA，所以直线PQ方程为：y−y0=BA(x−x0)，
联立Ax+By+C=0，求出Q点的坐标为Q(B2x0−ABy0−ACA2+B2,A2y0−ABx0−BCA2+B2)，所以：d=|PQ|=(B2x0−ABy0−ACA2+B2−x0)2+(A2y0−ABx0−BCA2+B2−y0)2=|Ax0+By0+C|A2+B2。
4、推导四（造圆切线法）
如上图所示，以点P为圆心，作圆与直线l相切，则此圆的方程为：(x−x0)2+(y−y0)2=d2，联立直线方程Ax+By+C=0消去y得：(A2B2+1)x2+(2ACB2+2ABy0−2x0)x+(x02+y02+C2B2+2Cy0B−d2)=0，由相切的条件知：Δ=0，即：(2ACB2+2ABy0−2x0)2−4⋅(A2B2+1)⋅(x02+y02+C2B2+2Cy0B−d2)=0，解得：d=|Ax0+By0+C|A2+B2。
5、推导五（函数极值法）
如上图所示，该问题可以转化为求直线l上一动点Q，使得PQ的距离最短，当然我们已经知道d是最短的，这样，问题就变为了一个二元函数的条件极值问题，函数为：|PQ|=d(x,y)=(x−x0)2+(y−y0)2，d就是函数，条件就是Ax+By+C=0，求最小值，由于距离始终大于0，我们考虑根号里面的二元二次函数极值问题，我们采用拉格朗日乘数法。
令L(x,y,λ)=(x−x0)2+(y−y0)2+λ(Ax+By+C)，所以{Lx′=2(x−x0)+λA=0Ly′=2(y−y0)+λBLλ′=Ax+By+C=0，解得：x=B2x0−ABy0−ACA2+B2，y=A2x0−ABx0−BCA2+B2。代入函数中，即得：d=|Ax0+By0+C|A2+B2。
6、推导六（对称求点法）
如上图所示，设P(x′,y′)是P(x0,y0)关于直线l的对称点，于是有：{y′−y0x′−x0⋅(−AB)=−1A⋅x′+x02+B⋅y′+y02+C=0，解得：x′=B2x0−ABy0−ACA2+B2−x0，y′=A2x0−ABx0−BCA2+B2−y0，所以：d=12|PP′|2=|Ax0+By0+C|A2+B2。
7、推导七（求高法）
如上图所示，由直线方程可求得R、S的坐标，即R(0,−CB)，S(−CA,0)，于是三角形ROS的面积为：S△ROS=|12|−x0−CB−y0−CA−x0−y0||，所以：|RS|=(CA)2+(CB)2=|CA2+B2AB|，所以：d=2S△ROS|RS|=|Ax0+By0+C|A2+B2。
8、推导八（相似三角形法）
如图所示，PQ⊥l，OS⊥l，于是△PRS∼△ORQ，于是d|OS|=|PR||OR|=λ，由直线分线段比公式（定比分点公式及定理）可得：λ=Ax0+By0+C|C|，而|OS|=CA⋅CB|CA2+B2AB|=|C|A2+B2，所以d=λ|OS|=|Ax0+By0+C|A2+B2。