为什么矩阵A的秩小于n？

Question

如题所述

Answer 1

秩小于行或者列的个数n，说明矩阵的行列式值等于0，而矩阵行列式等于特征值的乘积，所以一定会有零为特征值。

对于秩为1的n阶矩阵，零是其n重或n-1重特征值，如果是n-1重，则非零特征值是矩阵的主对角线元素之和；另外还看到，秩为1的矩阵可以分解为一个非零列向量与另一个非零列向量的转置的乘积，这两个向量的内积即是非零特征值；秩为1的矩阵对应的齐次线性方程组的基础解系含n-1个解向量。

秩等于1的方阵的对角化问题：

矩阵A可对角化的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量。

对于秩等于1的n(n2)阶矩阵A=aT,a,均为n维非零列向量，齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量a2=(-b2,b1,0,..0)T，a3=()J3,D,),.....,an=-n,0,..,b1)T，它们是A对应于特征值入=0的n-1个线性无关的特征向量。