作业 用不动点迭代法求解方程-|||-f(x)=x^2-5=0-|||-要求:-|||-构造最少两？

Question

如题所述

Answer 1

要使用不动点迭代法求解方程 |-|-f(x) = x^2 - 5 = 0，我们需要构造至少两个适当的迭代函数。以下是两个可能的迭代函数：
1. 迭代函数 f1(x) = √(x^2 - 5)
2. 迭代函数 f2(x) = -√(x^2 - 5)
迭代函数的选择是关键，它们应该满足以下条件：
- 迭代函数应该收敛到方程的解。
- 在迭代过程中，应该保持迭代点不变（即不动点）。
通过选择不同的初始值，我们可以观察迭代函数是否收敛到方程的解。使用不动点迭代法时，我们从初始猜测值x0开始，通过迭代计算下一个值x1，然后再将x1作为新的迭代值，不断迭代直到满足收敛条件为止。
请注意，不动点迭代法的收敛性与初始猜测值的选择有关。如果初始猜测值选取得不合适，可能会导致迭代过程发散或无法收敛。

Answer 2

不动点迭代法的基本形式为：$x_{n+1}=g(x_n)$
为了求解方程 $f(x)=x^2-5=0$，我们需要将它转化成等价形式 $x=g(x)$ 的形式，即 $x=\sqrt{5}$。
有很多方法可以构造出函数 $g(x)$，满足 $x=g(x)$ 等价于 $f(x)=0$，下面给出两种常用的方法：
1. 改写 $f(x)$ 的形式为：$x=\sqrt{5+x}$，将 $x_{n+1} = g(x_n) = \sqrt{5+x_n}$ 代入不动点迭代法公式中，即可得到迭代公式：
$x_{n+1}=\sqrt{5+x_n}$
2. 将方程改写为： $x=\frac{5}{x}$，将 $x_{n+1} = g(x_n) = \frac{5}{x_n}$ 代入不动点迭代法公式中，即可得到迭代公式：
$x_{n+1}=\frac{5}{x_n}$
以上两种迭代公式都满足构造最少两个迭代函数的要求，可以使用不动点迭代法求解方程 $f(x)=0$。