【急求】高悬赏离散数学考题

Question

1.设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是（ ）
（A）∀x∃y(x+y=0)（B）∃y∀x(x+y=0)
（C）∀x∀y(x+y=0)（D）┓∃x∃y(x+y=0)
2.设A={a,b,c},R={<a,a>,<b,b>},则R具有性质（ ）
（A）自反的 （B） 反自反的（C） 反对称的（D） 等价的
3.设函数f:R→R,f(a)=2a+1;g:R→R,g(a)=a2,则（ ）有反函数
（A） g•f （B）f•g （C）f （D）g
4.下列代数系统（A，*）中，存在幺元的是( )
（A）、A=R,R为实数, a*b=a+b-ab
(B)、A=R,R为实数, a*b=b
(C)、A=N, N为自然数, a*b=ab
(D)、A=N, N为自然数, a*b=gcd(a,b), 其中gcd()为a,b的最大公约数
5.下列代数系统能够成群的是( )
（A）一元实系数多项式集合P(x)(含0多项式)，运算*是多项式的加法。
（B）一元实系数多项式集合P(x)(含0多项式)，运算*是多项式的乘法。
（C）正实数集R+,关于数的除法运算。
（D）设Q+为正有理数，运算*为普通减法。
6.用命题公式表示如下命题推理过程。张三说李四说谎话，李四说王五说谎话，王五说张三、李四都说谎话，问：这三个人到底谁说真话，谁说谎话？
7.试画出偏序集<{1,2,3,4,5,6},|>和<P({a,b,c}),Í>的哈斯图
8.试判定下列函数是否为满射、单射和双射
①设A={a,b,c},B={1,2},且函数f:A→B,f={<a,1>,<b,2>,<c,2>}
②设N为自然数集合，函数s:N→N,s(n)=n+1
③设Z为整数集合，E为偶整数集合，且函数g:Z→E
9.证明题，给定独异点<M，○，e>，对任意a,b∈M且a,b均有逆元，则
（1）（a-1）-1=a
（2）a○b有逆元，且(a○b)-1=b-1○a-1
10.设有代数系统（Z,◦）,其中运算◦为∀a,b∈Z，a◦b=a+b-2，证明代数系统（Z,◦）是一个群。

Answer 1

先做1，2，3，4，5，8，9，10题，仔细看，这些均是基本题，7题不清，6题有意思，要用命题公式表示如下命题推理过程，考虑。
1.设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是（A）
（A）∀x∃y(x+y=0)（B）∃y∀x(x+y=0)
（C）∀x∀y(x+y=0)（D）┓∃x∃y(x+y=0)
2.设A={a,b,c},R={<a,a>,<b,b>},则R具有性质（C ）
（A）自反的 （B） 反自反的（C） 反对称的（D） 等价的
3.设函数f:R→R,f(a)=2a+1;g:R→R,g(a)=a2,则（C）有反函数
（A） g•f （B）f•g （C）f （D）g
4.下列代数系统（A，*）中，存在幺元的是( A幺元0 ，C幺元1，D 幺元1)
（A）、A=R,R为实数, a*b=a+b-ab
(B)、A=R,R为实数, a*b=b
(C)、A=N, N为自然数, a*b=ab
(D)、A=N, N为自然数, a*b=gcd(a,b), 其中gcd()为a,b的最大公约数
5.下列代数系统能够成群的是( A，D )
（A）一元实系数多项式集合P(x)(含0多项式)，运算*是多项式的加法。
（B）一元实系数多项式集合P(x)(含0多项式)，运算*是多项式的乘法。
（C）正实数集R+,关于数的除法运算。
（D）设Q+为正有理数，运算*为普通减法。
8.试判定下列函数是否为满射、单射和双射
①设A={a,b,c},B={1,2},且函数f:A→B,f={<a,1>,<b,2>,<c,2>}，满射
②设N为自然数集合，函数s:N→N,s(n)=n+1，单射
③设Z为整数集合，E为偶整数集合，且函数g:Z→E，双射
9.证明题，给定独异点<M，○，e>，对任意a,b∈M且a,b均有逆元，则
（1）（a^-1）^-1=a,
a^-1○a=e,a○a^-1=e,故（a^-1的逆是a, （a^-1）^-1=a,
（2）a○b有逆元，且(a○b)-1=b-1○a-1
(b^-1○a^-1 )○(a○b)= b^-1○a^-1 ○a○b= b^-1○b=e
(a○b) ○(b^-1○a^-1 ) =a○b○b^-1○a^-1 =a○a^-1 =e
故(a○b)-1=b-1○a-1
10.设有代数系统（Z,◦）,其中运算◦为∀a,b∈Z，a◦b=a+b-2，证明代数系统（Z,◦）是一个群。
①(a◦b)◦c=(a+b-2) ◦c =a+b-2+c-2=a+b+c-4, a◦(b◦c)= a◦ (b+c-2) =a+b+c-2-2=a+b+c-4,
即(a◦b)◦c=a◦(b◦c),故结合性成立
②∀a∈Z，a◦2=a+2-2=a, 2◦a=2+a-2=a,故2是幺元
③∀a∈Z，a+(4-a)=a+4-a-2=2，故a的逆元是4-a，
由①②③可知代数系统（Z,◦）是一个群。

Answer 2

令 P:张三说真话，Q：李四说真话，R：王五说真话。

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Answer 3

lca001 大大：

第五题的D选项应该是错的啊。

1属于Q+；2属于Q+；1*2=1-2=-1，且-1不属于Q+，因此Q+对于运算*不封闭，所以D不是群