向量的长度-范数

Question

如题所述

Answer 1

向量，这抽象的数学概念，其核心在于它所映射的实数世界中的几何意义。我们通常用一个简洁的符号来衡量向量的"长短"，那就是向量的范数(Norm)。范数不仅定义了一个向量在空间中的规模，还揭示了其在不同度量下的重要特性。

范数的定义中，向量的长度必须满足一个基本的性质：对于任意非零向量 v，其范数||v||应使得

1. 非负性： ||v||总是非负的，即||v|| ≥ 0，并且当v为零向量时，其范数为零。

2. 三角不等式： 对于任意两个向量u和v，有||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||。

这些基本规则为我们提供了几个常见的范数计算方法：

1-范数 (L1-Norm): 每个分量绝对值之和。
2-范数 (Euclidean Norm or L2-Norm): 向量的平方和再开方，直观上等同于向量到原点的最短距离。
无穷范数 (L∞-Norm): 向量中最大分量的绝对值。
伪范数 (Pseudo-Norm): 范数的一种特殊情况，如在某些情况下可能不满足三角不等式。

然而，当涉及权重时，最具实用价值的范数通常是加权范数。在这个框架下，每个坐标系的分量被赋予了特定的权重，这使得每个维度的重要性得以区分。对于一个一般的范数||·||_p，加权范数可以表达为：

||v||_w = (∑(w_i * |v_i|^p))^(1/p)

这里的w是一个对角矩阵，其对角元素w_i为权重，比如在权2-范数中，权重被赋予了平方根的形式，它的定义如是：

权2-范数 (Weighted L2-Norm): ||v||_2^w = √(∑(w_i * v_i^2))，其中w_i为向量在第i维的权重。

这些范数在数据分析、机器学习和信号处理等领域发挥着关键作用，它们刻画了向量在多维空间中的分布和复杂性。通过理解并灵活运用不同类型的范数，我们可以更好地理解和处理向量空间中的信息。