高中数学函数题（证明题）

Question

对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数。
（1）若函数f(X)为理想函数，假定存在Xo∈[0,1]，使得f(Xo)∈[0,1],且f[f(x)]=Xo，求证：f(Xo)=Xo.
嗯，打少了。使得f(Xo)∈[0,1],且f[f(x)]=Xo。
我就是不理解。

Answer 1

题目少打了一个0，应该是f[f(x0)]=x0
用反证法，很容易。
说一下简单思路。显然，x0=1时结论成立，下面讨论x0≠1时的情况。
首先，假设f(x0)=x1≠x0，x1∈[0,1]。分两种情况讨论，证明思路是一样的，我只说一种你自己看看，第一种情况，x1>x0，这时，有x1-x0∈[0,1]，并且有
x0=f[f(x0)]=f[x1]=f[x0+(x1-x0)]≥f(x0)+f(x1-x0)=x1+f(x1-x0)≥x1，这与x1>x0矛盾，同样可以说明x0>x1时的情况会产生矛盾，所以，原假设不成立，即x1=x0，从而得证

Answer 2

因为f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)>x1,和x1,x2的任意性知f（x）在【0，1】上严格单调增。所以当
f(Xo)≠Xo时，f[f(x)]≠Xo，与题设矛盾，所以f(Xo)=Xo.