3.利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t).两边对自变量微分得dx=φ’(t)dt.
此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分.由于含有根式的积分比较困难,因此我们设法作代换消去根式,使之变成容易计算的积分.
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法:
(1)根式代换:被积函数中带有根式√(ax+b),可直接令 t =√(ax+b);
(2)三角代换:利用三角函数代换,变根式积分为有理函数积分,有三种类型:
被积函数含根式√(a^2-x^2),令 x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2),令 x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2),令 x = asect
注:记住三角形示意图可为变量还原提供方便.
还有几种代换形式:
(3)倒代换(即令 x = 1/t):设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数,当 n-m>1时,用倒代换可望成功;
(4)指数代换:适用于被积函数由指数 a^x 所构成的代数式;
(5)万能代换(半角代换):被积函数是三角函数有理式,可令 t = tan(x/2)
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