中考数学函数动点问题 有点难度

Question

如图，在平面直角坐标系中，A(0,1) B(1,0)。连接AB，P为AB上一动点，连接OP，作PC⊥OP交直线x=1于点C。

(2) 求证：OP=PC
(3) 设P(m,n)，连接OC，设△OBC的面积为S，请写出S关于m的函数关系式，并写出自变量取值范围
(4) 随着点P的移动，△PCB是否可以成为等腰三角形，若不可以，请说明理由；若可以，请写出所有满足条件的P点坐标。

高手直接看第四问，前两问简单。谢谢大家了。

要坐标+简单过程。

Answer 1

△PCB能为等腰三角形
过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x＝1于点N
易得直线AB的解析式为y＝－x＋1
①当P与A重合时，PC＝BC＝1，此时P（0，1）
②当点C在第四象限，且PB＝CB时，
有BN＝PN＝1－m，
∴BC＝PB＝√2PN＝√2－√2m，
∴NC＝BN＋BC＝(1＋√2)(1－m)
由△OPM≌△PCN得：NC＝PM＝m
∴(1＋√2)(1－m)＝m，解得m＝√2/2，∴n＝－√2/2＋1＝1－√2/2
∴P（√2/2，1－√2/2）
∴使△PBC为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（√2/2，1－√2/2）

Answer 2

（四）解：(1) 易知，直线AB的方程为x+y=1.又点P为直线AB上的动点，故可设P(1-x,x).(x∈R).再由OP⊥PC.且点C在直线x=1上，故可求得点C(1,2x-1).由两点间距离公式可得，|PB|²=2x².|PC|²=2x²-2x+1. |BC|²=4x¹-4x+1. (2)分类讨论。若|PB|=|PC|.===>2x²=2x²-2x+1.===>x=1/2.===>P(1/2,1/2),C(1,0),B(1,0).易知此情况不存在。若|PB|=|BC|.===>2x²=4x²-4x+1.===>x=1±(√2/2).由此可得点P的坐标。若|BC|=|PC|,===>4x²-4x+1=2x²-2x+1.===>x=1,x=0(舍去）。故符合题设的点P有三个。

Answer 3

第（4）题 分类讨论下
第一种情况 PC=PB
由第二问PC=PO
所以即求当PO=PB时P点的坐标 P（m,n）
由上面所述列方程m^2+n^2=（1-m）^2+n^2(PO=PB)又m+n=1
解出得 坐标（1/2,1/2）但此时的B与C重合 所以不存在PC=PB
第二种情况 PB=BC
列方程
（1-m）^2+n^2 = [(m^2+n^2-m)/n]^2 与m+n=1（带入左边方程即可）联立
可得m=±√2/2（负的舍去）
第三种情况
PC=BC
同1情况即PO=BC
列方程m^2+n^2=[(m^2+n^2-m)/n]^2（C点坐标第三问中有 下面会附另两问的解答）
与m+n=1联立
解得m=0或m=1(此时三角形不存在了)
综上m=√2/2 或 m=0

附：（2）过P做 平行于X轴的直线交Y轴于E点，直线X=1于F点……设P（X,Y）则有 X+Y=1
首先易得△OPE相似于△PCE！
又OE=Y，PF=1-X=Y 如此 相似且一条对应边相等，所以全等！再得OP与PC对应相等！
（3）设C（1，Y）向量OP=（m,n）向量PC=（1-m,Y-n）由向量积OP*PC=0可得
Y=（m^2+n^2-m）/n 又三角形OBC面积为S=1/2|BC|=1/2Y=（m^2+n^2-m）/2n 且P在直线AB上有m+n=1 代入上式即可得S与m的关系了。
数形结合m最小值易得为0，而根据题意三角形OBC要存在（即使为0）所以C最多到B点出 此时P点恰好在AB中点即m=1/2 所以自变量范围（0,1/2）
（4）