（2014?建宁县质检）如图：已知二次函数的图象与x轴相交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，

Question

（2014?建宁县质检）如图：已知二次函数的图象与x轴相交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，-3）．（1）求这个二次函数的解析式，并求出顶点M的坐标；（2）若C点关于该抛物线对称轴对称的点为C′，求直线AC′的解析式；（3）在该抛物线位于第四象限内是否存在一个点P，使得△PAB的面积等于△MAB面积 的一半？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意：可设所求解析式为：y=a（x+1）（x-3）把点C（0，-3）代入，
解得：a=1，
所求解析式为：y=x²-2x-3，
即：y=（x-1）²-4
所以其顶点坐标为（1，-4），
（2）依题意：C'点的坐标为（2，-3），
设所求一次函数的解析式为y=kx+b，
把点C'（2，-3），A（-1，0）代入得：

2k+b＝?3 ?k+b＝0

，
解得：k=-1，b=-1，
所以所求直线解析式为：y=-x-1，
（3）在该抛物线位于第四象限内存在一个点P，使得△PAB的面积等于△MAB面积的一半，
理由如下：
设P点坐标为（x，y），
∵y=x²-2x-3，
∴P点坐标为（x，x²-2x-3），
且AB=4，△ABM的高为4，
∴△ABM的面积为：S_△ABM=

1

2

×4×4=8，
△ABP的面积为：S_△ABP=

1

2

×4×|x²-2x-3|=2（-x²+2x+3）=-2x²+4x+6，
依题意：2（-2x²+4x+6）=8，
整理得：x²-2x-1=0，
解得：x₁=1+

2

，x₂=1-

2

，
但因为P点在第四象限，所以x₂=1-

2

（舍去），
所以x=1+

2

，
当x=1+

2

时，y=（1+

2

）²-2（1+

2

）-3=-2，
所以所求P点的坐标 为（1+

2

，-2）．