计算最大内接矩形

Question

如上图，把橙色的矩形绕中心点旋转后得到黑色矩形,
求蓝色的内接矩形。内接矩形在橙色矩形和黑色矩形相交区域内。

Answer 1

郭敦顒回答：
经测量矩形的长为7.5（单位长：cm），宽为3.25（单位长：cm）。
上图逆时针旋转60°，下图逆时针旋转30°。
（1）在上图中，设内接矩形ABCD为最大（面积S最大），对角线AC，BD的交点为O，点A，C在黑色矩形EFGH上
矩形ABCD为正方形时最大，设边长为x =AB=BC=AD=CD，
AD∥BC∥橙色矩形长边。
延长AD交黑色矩形EFGH长边FG于K，
在Rt⊿CDK中，有CD/KD=√3/1；
延长CB交黑色矩形EFGH另一长边GH于L，
在Rt⊿ABL中，有AB/LB=√3/1。
作EW∥LC，且有EW= LC，
在Rt⊿EFW中，∠EWF=60°，
EW=EF/sin60°=3.25/[（1/2）√3]=3.752777，FW=EW/2=1.876388。
LC= EW=3.752777，
Rt⊿ABL∽Rt⊿EFW，
LB= 3.752777－x
在Rt⊿ABL中，因有AB/LB=√3/1，
∴x/（3.752777－x）=√3/1，
x=√3（3.752777－x），2.73205x=6.5
x=2.379166
∴最大内接矩形ABCD为正方形时最大，边长AB=BC=AD=CD=2.379166。
（不另绘图，注意在原图上加辅助线并标明各点位置）
（1）在下图中，有类似有结果，最大内接矩形也为正方形，只是正方形的边
AD∥BC∥黑色矩形长边。详情略。本回答被提问者和网友采纳

Answer 2

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0),则(bx)^2+(ay)^2=(ab)^2
再设矩形在第一象限的顶点为P(x,y)
故S=4xy
得S=(2/ab)[2(bx)(ay)]≤(2/ab)[(bx)^2+(ay)^2]=2ab
当且仅当y/x=b/a时取等号
故S最大=2ab