极限和有界这两个概念在数学中是不同的，但它们之间存在一定的联系。
极限是一种描述函数在某一点或无穷远处的行为特性的概念。给定一个函数 f(x) 和一个实数 a（或无穷远处），如果当 x 趋近于 a 时，f(x) 的值无限接近于某个常数 L（或无穷大），那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限为 L（或无穷大），表示为：
lim(xa) f(x) = L 或 lim(x∞) f(x) = L
有界是指函数在某个区间内的取值范围是有限的。给定一个函数 f(x) 和一个实数区间 [a, b]，如果存在两个常数 M 和 m，使得对于区间内的所有 x 值，有 m ≤ f(x) ≤ M，那么我们就说函数 f(x) 在区间 [a, b] 上是有界的，表示为：
∀x∈[a, b]，m ≤ f(x) ≤ M
极限和有界的关系可以通过闭区间套定理来描述。闭区间套定理保证了一个存在有限极限的函数在某一点附近是有界的。具体地说，如果函数 f(x) 在点 a 的某一去心邻域内有限，且 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限存在（不一定是有限值），那么 f(x) 在 a 附近的一段区间上是有界的。换句话说，一个函数在有限极限存在的点附近是有界的。
需要注意的是，有界性和极限存在之间并不是绝对的等价关系。一个函数在某个区间上有界，并不意味着它在区间内每一点的极限都存在。反之，一个函数在某一点附近有界，也不能保证它在该点有极限。
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