n阶行列式 每行各元素之和为零 各列元素之和为零 证明 行列式D的所有代数余子式彼此相等

Question

如题所述

Answer 1

若rank(A)<n-1则adj(A)=0, 结论显然

若rank(A)=n-1则[1,1,...,1]^T是Ax=0的一个基础解系, 而A adj(A) = 0, 所以adj(A)的每列都具有[u,u,...,u]^T的形式.
同理, 利用[1,1,..,1]是yA=0的一个基础解系及 adj(A) A = 0得上述每列的u都相等.追问

请能用行列式的知识吗？那个符号什么额 看不懂 谢谢

追答

只用行列式的工具也可以, 就是打起来比较麻烦, 我用一个小例子给你演示一下, 一般形式你自己去写

举个三阶的例子
a b c
d e f
g h i
(1,1)位置的代数余子式是
e f
h i
也可以表示成
A11=

1 0 0
d e f
g h i
同理, (1,2)位置的代数余子式可以表示成
A12=

0 1 0
d e f
g h i
(一般情况是, (i,j)位置的代数余子式可以从行列式中把第i行换成仅有第j列一个1, 其余位置为0的行列式)
然后
A11-A12=
1 -1 0
d e f
g h i
这个行列式每行之和都是0, 所以A11-A12=0
(一般情况是Aij-Aik=0)

再对列也用相同的方法证明Aij-Akj=0, 这样就得到所有的代数余子式都相等