数学函数高中题！！

Question

函数 f(x)=2-x^2-e^x
求：
1.f(x)最大值
2.f(x)=0时的两个根
拜托…… 这应该是IB past paper上的原题…… 只是我现在找不到答案所以来问下。

Answer 1

呵呵，10几年前高中是没有学导数的，何必如此刀剑相向
f'(x)=0=-2x-e^x，即e^x=-2x,函数存在极值
因为，x=0时，e^0=1,-2x=0
易证x>0,f(x)是减函数，存在最大值。
但是，极值点绝对不是x=0时，而是x<0的某个值
怎么求？
方法一、
作图法，x=-0.35时，f(x)max=1.17
函数图像与x轴的2个交点分别是：x1=-1.32,x2=0.54
方法二、
二分法
令F(x)=e^x+2x
x=0,F(0)=1
x=-0.4,F(-0.4)=0.67-0.8=-0.13<0
x=(0-0.4)/2=-0.2,F(-0.2)=0.42>0
x=(-0.4-0.2)/2=-0.3,F(-0.3)=0.14>0
x=(-0.4-0.3)/2=-0.35,F(-0.35)=0.005≈0。OK
最大值是在x=-0.35时，f(x)max≈2-0.1225-0.705=1.17
同理，
x=0,f(0)=1
x=0.6,f(0.6)=2-0.36-1.82=-0.18<0
x=(0+0.6)/2=0.3,f(0.3)=2-0.09-1.35=0.56>0
x=(0.6+0.3)/2=0.45,f(0.45)=2-0.2025-1.57=0.2275>0
x=(0.6+0.45)/2=0.525,f(0.525)=2-0.276-1.69=0.034>0
取x=0.535,f(0.535)=2-0.286225-1.7075=0.006≈0,x不小于0.535
一个交点是x=0.54
另一个交点x=-1.32。验证：f(-1.32)=2-1.7424-0.2671=-0.009

Answer 2

当x大于等于0的时候，f(x)单调递减，f(0)=1
当x小于等于0的时候，f'(x)=2-x^2单调递增，f'(x)=1时，x=-1
f(-1)=f'(-1)-e^-1<1，因为e^x>0，所以x<-1时，f(x)<f'(x)<1
当-1<x<0时，f(x)<2-e^x 因为2-e^x在(-1,0]中单调递增，
当-1<x<0时所以f(x)<2-e^x<2-e^0<1
所以f(x)小于等于1,当且仅当x=0时，f(x)有最大值1

要求根的话用初等数学的方法比较难。
不过如果要证明f(x)=0有两个根还是比较简单的

Answer 3

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