有一块半径为 R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在

Question

有一块半径为 R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问: 工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.

Answer 1

矩形 MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为 R 2 .

如下图，扇形 AOB 的内接矩形是 MNPQ ，连 OP ，则 OP = R ，设∠ AOP = θ ，则∠ QOP =45°－ θ ， NP = R sin θ ,在△ PQO 中， ， ∴ PQ = R sin(45°－ θ ). S 矩形 MNPQ = QP · NP = R 2 sin θ sin(45°－ θ ) = R 2 ·［cos(2 θ －45°)－ ］≤ R 2 ， 当且仅当cos(2 θ －45°)=1,即 θ =22.5°时， S 矩形 MNPQ 的值最大且最大值为 R 2 . 工人师傅是这样选点的，记扇形为 AOB ，以扇形一半径 OA 为一边，在扇形上作角 AOP 且使∠ AOP =22.5°， P 为边与扇形弧的交点，自 P 作 PN ⊥ OA 于 N ， PQ ∥ OA 交 OB 于 Q ，并作 OM ⊥ OA 于 M ，则矩形 MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为 R 2 .