为什么:合同变换不改变矩阵的正定性?

Question

如题所述

Answer 1

如下：

合同变换是把矩阵变为标准型的一种手段，另一种方法是配方法，还有正交变换，限定变换为实变换时，是不会改变矩阵的惯性指数的。

由合同矩阵的定义，合同矩阵实际是把一个二次型变成了另一个二次型，并且这个变换是可逆的，所以这两个二次型就可以说是一样的，所以两个矩阵合同那么他们的正定性一定相同，合同变换不改变矩阵的正定性。这是直观的理解。

具体证明如下：设A与B合同，并且A正定那么A一定和单位矩阵I合同，由于合同的反身性和传递性可得B也和I合同，所以B一正定；反之若A不正定，则B也是不正定的。对于相似矩阵由于他们的特征值相同，所以他们的正定性肯定相同。

矩阵合同的主要判别法：

1、设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

2、设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。