高数:求幂级数的和函数，步骤看不太懂，求好心人指点

Question

解法如图，求导之后那里是怎么推出1/1+x^2的呢？

Answer 1

S'(x) = ∑『n=0→+∞』(-1)^n · x^(2n)
= ∑『n=0→+∞』(-x²)^n
= lim『n→∞』1+(-x²)+(-x²)²+…+(-x²)^n
上式是一个以1为首项，-x²为公比的等比数列的求和，当x∈(-1,1)时，由等比数列前n项和求和公式知：
原式 = lim『n→∞』 [1-(-x²)^(n+1)] /(1-(-x²))
= lim『n→∞』 [1-(-x²)^(n+1)] /(1+x²)
= lim『n→∞』 1/(1+x²)-(-x²)^(n+1)/(1+x²)
= 1/(1+x²) - lim『n→∞』(-x²)^(n+1)/(1+x²)
= 1/(1+x²) - 0 = 1/(1+x²) x∈(-1,1)