有理数的概念：有理数由整数和分数组成。
推论：任意一个有理数，都可以化成一个不可约分数，p/q,(p,q)=1,p,q∈Z[最大公约数为1，即互质，不可约]。
首先我证明，无限循环小数可以表示成分数形式，也即无限循环小数为分数。
1.令一个无限循环小数的小数部分为：S=0.a1a2..ana1a2..an...，即以序列a1a2..an无限循环。令k=0.a1a2...an，那么S=k+k/10^n+k/10^2n+...
再令ai=k/10^[(i-1)*n] S=lim(n→+∞)∑ai=a1*(1-q^i)/1-q=a1/1-q=a1/1-1/10^n，而a1=k 所以S=k/(1-1/10^n)=10^nk/(10^n-1)=a1a2a3...an/10^n-1，这可能是一个可约分数，但一定可以表示成一个不可约分数，所以，无限循环小数为分数（有理数）,而若一小数为S1=x.b1b2..bna1a2..ana1a2..an,即，不是从一开始就循环，那么不循环部，一定可以表示成b1b2b3...bn/10^n,一定是一个不可约分数，相加一定可表示成一个不可约分数，我在2中会证明。
我再证明有理数的运算是封闭的，即有理数的加减乘除是有理数。
2.令两个有理数，a/b,(a,b)=1 p/q,(p,q)=1,a,b,p,q∈Z
a/b+p/q=(aq+bp)/bq这可能是一个可约分数，但一定可以表示成一个不可约分数,只要上下同时除以(aq+bo,bq),同理，它们的差(aq-bp)/bq,积ab/bq，商aq/bq可能是一个可约分数，但一定可以表示成一个不可约分数,所以，有理数的运算是封闭的。
3.“如果圆周率是用有理数表达的,则可证明派值小数点后面的数是循环的”，这个命题是正确的，即可以由p“圆周率是用有理数表达的”推出"派值小数点后面的数是循环的"，在1.2中我已经证明，但条件是建立在p成立。但p被证明是不成立的。下面我来证明，分数只能表示成整数或不循环小数或无限循环小数。
证明：令一个分数[一个分数一定能同过约分化成不可约分数]，p/q,(p,q)=1,p,q∈Z，若q=±1,则，p/q是整数。若q是10的约数(2.5,10)的约数倍，即有(2,5,10)经过有限次乘除运算能得到的，那么p/q是一个不循环小数，因为通过上下*10^n,可约去分母，使得分子p*10^n/q是一个整数，分母10^n是一个整数，而且不会循环。若q不是10的约数(2.5,10)的约数倍，则令分子分母为a*b，其中a是10的约数(2.5,10)的约数倍,而b不是，同*10^n,使分子比分母b多1位。p*10^n=cb+r,r,c∈Z,r<b,即r是余数。一定能找到j∈Z,使r^j-1|b,则r^(j+1)除b的余数是r,即余数在j位后循环出现。故为循环小数。
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