问一个有关单摆周期证明的问题

Question

我想通过微积分证明一下单摆周期。以下是证明过程：
设单摆和水平面夹角为α，则开始释放的时候切向的加速度为g*sinα。
由此：g*sinα=dv/dt…………①
v=wl=dα/dt*l…………②
把①不定积分，得v=g*sinα*t代入②，整理后再不定积分，得
∫t*dt=l/g*∫dα/α
t=根号下（2l/g*Lnα）。然后怎么做啊？怎么求出周期？谢谢各位！

Answer 1

LZ第一次积分错了。左边的α是变量，积分的时候不能当成常量，所以你的v=g*sinα*t是错的。用微积分要解微分方程的。因α很小时sinα≈α,物体偏离平衡位置的距离x=α*l.F=-mg*sinα≈-mg*α=-mg*x/l=-(mg/l)*x∝x,所以令k=mg/l,得F=-kx。下面的问题就是求物体在F=-kx的驱动力下的运动情况。F=-kx=ma,a=dv/dt=d(dx/dt)/dt,即x^(2)+(k/m)*x=0[x^(2)表示x的二阶导数].这是一个二阶常系数线性微分方程，令ω=根号下（k/m）可得方程的通解为x=c1cosωt+c2sinωt.其中c1、c2是常数。三角变换得x=根号下（c1^2+c2^2)sin(ωt+δ)=Asin(ωt+δ)(其中tanδ=c1/c2)。所以单摆运动方程x=Asin(ωt+δ),为周期运动，其周期T=2π根号下(l/g)

Answer 2

不要用积分
用动能定理

Answer 3

sina小量代换成a否则你做不出来的。
还有你角度方向也搞错了。
l*d2a/dt2=-gsina=-g。（1式）
我告诉你个简单的方法：
d2a/dt2=d(da/dt)/dt
(1式)两边同乘以da