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Question

In the CS theory framework, the knowledge of the signal sparsity allows signal reconstruction from a small number of measurements. In the array signal processing framework, this means that the knowledge of the spatial signal sparsity allows to achieve a high bearing angle resolution using short sensor array. Our spatial interpretation of the compressive sensing relates to the pioneering results in [27]-[29], where the compressive beamforming was proposed for the problem of direction of arrival estimation. However, these works, similarly to the majority of the published works exploit the temporal sparsity of the received signals.
The paper is organized as follows. Results from the com- pressive sensing theory are summarized in Section II. The addressed problem is formulated in Section III. The spatial compressive sampling approach for the field directionality estimation is presented in Section IV. Estimation performance of the proposed spatial CS-based approach is evaluated via simulations in Section V. Our conclusions are summarized in Section VI.

II. COMPRESSIVE SENSING
This section summarizes notations and that main results from the CS theory [15]-[26]. The CS theory addresses the following underdetermined and noisy problem:

where xJ is a pure J-sparse signal, and where constants c0 and c1 are well behaved and small. Note that this results suggest that when the signal x is J-sparse, the estimation error is bounded by the energy of the noise w only.
This framework provides an opportunity for the sensing matrix Φ design [17]. One should find the sensing matrix that obeys the RIP and allows to recover as many elements of the signal x from M measurements, as possible. The RIP that was proposed in [18] and [19] is closely related to the incoherency between the sparsity and the measurements basses, providing an efficient way to obtain the sensing matrix that satisfy it. In [23] it was shown that the incoherency property allows exact reconstruction of the signal that is sparse in one basis using the sensing matrix from the second incoherent basis. It was shown in [23] that the time-frequency pair of orhtonormal basses that are related via the Fourier transform is highly incoherent. Moreover it was shown that the time-frequency pair of spikes and complex sinusoids yields the most mutually incoherent pair providing the best sparsity conditions. This property was used in [19] and [23] to show that considering that the signal x is sparse in the basis of spikes, the minimal number of the measurements that is required for its recovery, using the partial Fourier matrix of complex sinusoids with M uniformly selected rows, is: M ≥ c2 J/(log N)4 .

Answer 1

在CS理论框架中，知道信号稀疏度可以允许由数量少的测量值进行信号重构。在阵列信号处理框架中，这意味着，知道空间信号的稀疏度就可用短的传感器阵列达到高的象限角分辨率。我们对压缩传感的空间解释与文献[27]-[29]中的先导结果有关，其中，为了到达估计的方向问题提出了压缩波束形成。不过这些研究和大多数已发表的论文一样，研究的是被接收信号的时间稀疏度。
本文的组织如下。由压缩传感理论得到的结果被归纳在第2节中。所着重解决的问题在第3节中用公式加以描述。用于场方向性估计的空间压缩取样方法在第4节中介绍。所提出的基于空间CS的方法在第5节中通过仿真进行了评价。我们的结论则归纳在第6节中。
2 压缩传感
本小节归纳了CS理论的符号表示及其主要结果[15]-[26]。CS理论着重解决这在解决中的问题和噪声问题：

式中Φ为一个已知的尺度为M×N（M＜N）的已知传感矩阵。CS理论的主要目标是恢复长度为N的信号 ，形成长度为M的，受到白零均值高斯噪声w(具有协方差矩阵Γw= )污染的测量值 。这一提法不当的问题的解只有在信号x的某些性质可得到考虑时才有可能[17]。CS理论认为信号x在某种高阶稀疏基础 中是“稀疏的”或“可压缩的”，提供了以下的表示式：

式中，稀疏度基础矩阵Ψ的列是来自稀疏度基础的矢量，而尺度N×1的稀疏度矢量的系数d只包含J＜＜N的非零元素。
传感矩阵Φ被认为以J-受约束等距常数δJ遵循RIP，这是对于任何J-稀疏信号满足式（3）的最小值：

对于式（1）的噪声情况，适用于任何信号x的通用估计量（不一定是稀疏的）在文献[20],[21]中做了介绍，其凸优化如下：

式中 。已经证明，假设 1，那么此估计量的性能被约束如下：

式中xj为一个纯的J-稀疏信号，这里的常数c0和c1表现良好而且较小。请注意，这一结果告诉我们，当信号x为j-稀疏时，估计误差只受噪声w的能量的约束。
这一框架为传感矩阵Φ的设计提供了一个机会[17]。人们应该发现遵循RIP并允许从M个测量值恢复信号x尽可能多的元件的传感矩阵。在文献[18]和[19]中提出的RIP与稀疏度和测量低沉音之间的不相干性密切相关，从而为获得满足它的传感矩阵提供了一种高效的方法。在文献[23]中证明了，不相干性性质可以允许用传感矩阵从第二个不相干的基础准确地重构在一个基础上是稀疏的信号。文献[23]证明了，通过傅里叶变换相关的规范正交的低沉音的时间－频率对是高度不相干的。而且还证明了，尖峰和复杂正弦波的时间－频率对产生相互最不相干的对，从而提供了最好的稀疏度条件。这一性质被用到了文献[19]和[23]中，以证明，如果考虑信号x在尖峰基础上是稀疏的，那么用于这一恢复（用具有M行均匀选择行的复杂正弦波的部分傅立叶矩阵）所需的测量的最小数目应该为 M ≥ c2 J/(log N)4 .。

Answer 2

依据CS理论框架，信号的稀疏性的专业知识能测量从少数信号的重建。阵列信号处理的框架意味着在空间信号稀疏的知识可以使用短传感器阵列实现高承载角分辨率。我们的空间诠释压缩传感涉及在[27]的开创性成果 - [29]，其中压缩波束采用的是波达方向估计问题的建议。但是类似于已发表的这些作品工程，大部分利用接收到的信号的时间稀疏。
本文组织如下。COM - pressive遥感理论成果总结第二节。第三节说的是问题的解决。压缩采样的空间为外地方向性估计的方法载于第四节。在第五节，我们会对空间政务司司长的建议为基础的方法进行评估，通过模拟来证明我们的结论是在第六节（即总结）。

二。受压传感
本节概述了符号和CS理论的主要结果[15] - [26]。CS理论讨论了以下欠定和噪声问题：

其中 株是一个纯粹的J -稀疏信号，并在常量c0和C1中表现良好。请注意，此结果表明，信号x歼稀疏，估计错误只是在噪音瓦特能量范围。
这个框架提供了一个传感矩阵Φ设计[17机会]。人们应该找到传感矩阵，依据RIP和允许复苏的信号，如有可能，M测量X有很多因素。这是的RIP建议[18] [19]有密切的关系之间的稀疏和测量 不一致性，提供了获取传感矩阵有效途径来满足它。[23]它表明，不一致性属性允许的信号，即是在一个基础稀疏利用相干的基础上，第二次对遥感矩阵进行精确重建。结果表明，在[23]的时间内一方面是通过相关的 变换orhtonormal 频率对极不一致。此外也表明，当时的峰值频率对产量和复杂的 ，为相互连贯对提供最佳的稀疏性条件。此属性[19使用]和[23]表明，考虑到信号x正处于峰值的基础上，测量的最小数字需要重新进行，使用复杂的局部傅立叶矩阵M所选行的统一，是： M ≥ c2 J/(log N)4 .

Answer 3

在CS理论框架,知识的信号sparsity允许信号从一个小数量的重建的测量方法。在阵列信号处理框架,这意味着知识的空间信号sparsity允许达到很高的轴承的角度分辨率使用传感器阵列。我们的空间解释遥感与创业抗导致[27]-(29岁),提出了一种适合的抗压波束的二维波达方向估计问题。然而,这些作品,同样的,大多数的作品利用时间的通用的净水剂接收信号。
文章是有组织的如下。结果从com - pressive传感原理在第二章。解决问题的办法是在第三节。抽样方法的空间压缩的指向性估计算法在第四节。估计性能的评价方法是空间CS-based提出通过模拟在部分的结论了v第VI部分。

二。压传感
本节概述,主要源于记在CS理论(15)-[26]。在CS理论提出下列underdetermined和喧闹的问题:

在新疆是一个纯粹的J-sparse信号,c0常量,都表现得好,小阮。注意这个结果表明当信号x是J-sparse,估计误差界充满活力的噪音w。
该框架提供一个机会,Φ设计[17遥感矩阵。人应该遵循的传感矩阵RIP和允许恢复多要素的信号从x M测量,是不可能的。提出了一种症状,[d],[m].北京:19]是密切相关的sparsity机库和测量之间,提供一个有效的方式男低音获取遥感矩阵,满足你的好奇心吧。在(23)进行了对比,结果表明:在机库中允许精确重建一个信号,稀疏矩阵的基础上利用遥感从第二连贯的基础。这是显示在(23)的时频双orhtonormal司相关的傅里叶变换是通过高度连贯。而且它是显示频副峰值和复杂的正弦波产量最多的一对相互语无伦次sparsity条件提供最佳的解决方案。这个属性是用于[M].北京:19]和[M].北京:23]表明,考虑到这个信号是稀疏的基础上,最小数目的测量要求,其恢复,使用局部傅里叶变换矩阵的复杂的正弦波和M排,统一选择:M≥c2 J /(记录)。

Answer 4

在CS理论框架，信号sparsity的知识允许信号重建 从一个小数字 测量。 在列阵信号处理框架，这意味着空间信号sparsity的知识准许使用短的传感器列阵达到一个高轴承角度决议。 我们的空间解释 压缩 感觉与作早期工作在的结果关连[27] - [29]，压缩beamforming为到来估计的方向的地方问题提议。 然而， 这些工作，相似地 到出版工作的多数剥削被接受的信号的世俗sparsity。 本文如下被组织。 结果从com- pressive感觉的理论在第II.部分总结。 着手解决问题在第III.部分被公式化。 空间压缩采样方法为领域定向性估计在第IV.部分被提出。 提出的空间基于CS的方法的估计表现通过模仿在第v.部分被评估。 我们的结论在第VI.部分得出。 II. 压缩感觉这个部分总结记法和那个扼要结果从CS理论[15] - [26]。 CS理论演讲以下underdetermined和喧闹的问题： 那里xJ是一个纯净的J稀稀落落的信号，并且常数c0和c1是行为良好和小的地方。 注意这发生建议，当信号x是J稀稀落落的，估计错误由噪声一定仅w的能量。 这个框架为感觉的矩阵Φ设计[17]提供机会。 你应该发现服从裂口并且准许从M测量恢复信号x的许多个元素的感觉的矩阵，尽可能。 提议的裂口[18]，并且[19]与incoherency紧密地相关在sparsity和测量低音之间，提供一个高效率的方式获得满足它的感觉的矩阵。 在[23]它显示incoherency物产允许是稀稀落落的在一个依据使用感觉的矩阵从第二个不连贯的依据信号的确切的重建。 它显示了在[23]通过傅立叶变换是相关的时间频率对orhtonormal低音是高度不连贯的。 而且它显示时间频率对钉和复杂sinusoids产生提供最佳的sparsity条件的最相互不连贯的对。 这物产用于[19]，并且[23]显示那考虑的信号x是稀稀落落的在钉的依据，为它的补救需要测量的最小的数量，使用复杂sinusoids部份傅立叶矩阵以M一致地选择的列，是： M ≥ c2 J/(日志N) 4。