中考数学试题

Question

三角形ABC是边长为3的等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，D在三角形ABC外，且角BDC等于120度以D为顶点作一个60度角，使其两边分别交AB于点M,交AC于N,连接MN,则三角形AMN周长是多少？ 要详细的解题过程

Answer 1

延长AC至P点，使得CP=BM，
△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
BD=CD ∠DBC=∠DCB=30°
△ABC等边三角形
∠ABC=∠ACB=60°所以 ∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°
同理∠NCD=90°
所以 ∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°
所以 △BDM≌△CDP
所以 MD=PD
∠MDB=∠PDC
因为 ∠MDN=60°
所以 ∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°即 ∠MDN=∠PDN=60°
所以 △NMD≌△NPD（SAS）所以 MN=PN=NC+CP=NC+BM所以 △AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=3+3=6
△AMN的周长为6

Answer 2

把△MBD 以D点为顶点旋转，使BD 和CD重合
△MDN≌△M’DN (边角边证得，M’DN的夹角是120-60=60度)
MN=M‘N=MB+NC

周长=AM+AN+MN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=3+3=6