如何解答不定积分的题目？

Question

如题所述

Answer 1

第一个不定积分的计算：
\int\frac{\arctan x}{x^2}dx=\int\arctan xd(-\frac{1}{x})
=-\frac{\arctan x}{x}+\int\frac{1}{x(1+x^2)}dx
=-\frac{\arctan x}{x}+\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\right)dt
=-\frac{\arctan x}{x}+\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+const
这里使用了分部积分法化成有理分式的积分。
第二个极限的计算：
\lim\limits_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x\sin x}}
=\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{\ln\cos x}{x\sin x}}
=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln\cos x}{x\sin x}}
=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln\cos x}{x^2}}
=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2x}}
=e^{-\frac{1}{2}}
这里使用了对数极限计算和洛必达法则以及重要极限的计算。
第三个定积分的计算：
\int_0^2\frac{1}{x+\sqrt{4-x^2}}
=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cosy}{\sin y+\cos y}dy(这里使用了换元x=2\sin y)
=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cosy}{\sqrt{2}\sin(y+\frac{\pi}{4})}dy
=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\cos(z-\frac{\pi}{4})}{\sqrt{2}\sinz}dz
=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\cos z+\sinz}{2\sinz}dz
=函数\frac{1}{2}\left(\ln\sin z+z\right)在区间[\frac{\pi}{4}，\frac{3\pi}{4}]上的积分
=\frac{\pi}{4}