有谁知道关于黎曼函数ζ（3）是无理数的证明?

Question

The Riemann zeta function is an extremely important special function of mathematics and physics that arises in definite integration and is intimately related with very deep results surrounding the prime number theorem. While many of the properties of this function have been investigated, there remain important fundamental conjectures (most notably the Riemann hypothesis) that remain unproved to this day. The Riemann zeta function is defined over the complex plane for one complex variable, which is conventionally denoted (instead of the usual ) in deference to the notation used by Riemann in his 1859 paper that founded the study of this function (Riemann 1859). It is implemented in Mathematica as Zeta[s].
这不是我要的回答^^^^^
什么是黎曼猜想俺知道的
关于The Riemann zeta function 是偶数的性质俺
基本也知道
俺要的是黎曼函数s=3是无理数的证明??
有谁知道俺一定重谢^^^^^^

Answer 1

现在介绍这个猜想的文章都涉及到复变函数，解析延拓和非平凡零点一下子就把没学过的挡在外面了，这里我要做的是争取让具有一点点高数知识的人就能明白。

首先出个智力题

∑(1/n^2)[n:1->∞]=1+1/4+1/9+……+1/n^2+……=?

不要试图用初等方法计算，学过高数的都知道了，这个结果是π^2/6。
结果很奇怪（其实很早以前数学家也感到奇怪）怎么和π搞到一起去啦？
不理它，现在继续

∑(1/n^4)[n:1->∞]=1+1/16+1/81+……+1/n^4+……=?

嗯，结果是π^4/90，

那么∑(1/n^6)[n:1->∞]是多少呢？π^6/945，好像有那么点规律，呵呵，实际上这个规律18世纪就得到了（有兴趣的可以回家做作练习，估计要练个一年半载的），就是

∑(1/n^k)[n:1->∞，k:2，4，6，……]=-(2πi)^k B(k)/(2k!)

这是欧拉得到的最漂亮的结果之一（当然，他猜了好几年，证明了十几年）。但是又多出个i（就是i^2=-1那个），还有个B(k)。B(k)就是伯努利数，伯努利数没有一个通项公式，算起来也比较复杂，不过除了B(1)=-1/2,B(2k+1)都是0。前几位伯努利数是
B0 = 1, B1 = -1/2, B2 = 1/6, B4 = -1/30, B6 =1/42, B8 = -1/30, B10 = 5/66, B12 =-691/2730, B14 = 7/6,B16 = -3617/510, B18 = 43867/798, B20 = -174611/330……

现在，我们把∑(1/n^k)[n:1->∞]表示为一个函数ζ(s)，
我们有ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945，ζ(k)=-(2πi)^k B(k)/(2k!)(k是偶数)

很自然的问题出来了，ζ(3)=？，ζ(5)=？，ζ(2k+1)=?

非常不幸，这个问题欧拉没搞清楚，现在也没人能够搞清楚。现在唯一知道的是ζ(3)是个无理数，而ζ(5)是有理数还是无理数都不清楚。有志者可以继续搞，呵呵。

但是这不是黎曼猜想。黎曼猜想却是由这个函数来的。现在我们把ζ(s)自变量变为复数。

定义 ζ(s)=∑1/n^s，n:正整数,1->∞，s是复数。

这就是著名的Zeta函数（前面那个希腊字母就读作Zeta）。这是一个级数，s要在整个复平面上跑，也就是说要取遍所有的复数。（当然，不知道当初为什么要研究这么个级数，反正越研究越复杂，越有乐趣，许多数论基本问题/代数基本问题/函数基本问题等等等等都和这个有关系）

现在解方程

ζ(s)=0。

首先我们知道，当这个s的实部大于一的时候，也就是Re(s)>1，ζ(s)绝对收敛，没有零点。
其次现在我们知道，s是负偶数的时候，ζ(s)=0
那么还有什么时候ζ(s)=0呢？黎曼说，

如果ζ(s)=0，并且0<=Re(s)<=1，那么Re(s)一定等于1/2。

这就是著名的黎曼猜想。

参考资料：http://www.tianya.cn/techforum/Content/180/537025.shtml

Answer 2

我来迟了一步。 不过没关系，我知道哪里有关于证明
ζ(3)=0 是无理数的证明。

你可以去看菲赫金戈尔兹的名著《微积分学教程》，现在北京九章数学书店热卖中。上个月我刚邮购了一套三卷收藏。

这本书里有你要的证明。

另外，你可以去看潘承洞潘承彪写的《解析数论》我记得讲黎曼函数那一章习题里有。

要是你不急得话，我可以回去翻一下的。不过要下礼拜才能回答你。

Answer 3

"其实我还在等伱" 你真行！高深莫测。

你是学数学的，还是教授数学的？