一道初中数学题

Question

若m*m-m-1=0 n*n-n-1=0,且m≠n求m的五次方+n的五次方的值？
（m的五次方n的五次方不知道怎么打）
用初一的方式答，还没学一元二次方程的解法

Answer 1

这个有点繁
因为m*m-m-1=0 n*n-n-1=0,且m≠n
所以m、n为方程x^2-x+1=0的两个根
所以m+n=1,mn=-1
m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=3
m^3+n^3=(m+n)(m^2+n^2-mn)=4
m^5+n^5=(m^2+n^2)(m^3+n^3)-m^2n^3-m^3n^2
=12-m^2n^2(m+n)
=12-1
=11
把高次降为低次计算

参考资料：团队：我最爱数学！

Answer 2

解：这道题有五次方，且不能整体代入，所以只能把m和n求出来
依题意，
m²-m-1=n²-n-1
m（m-1）=n（n-1）
因为m≠n
所以m=0 n=1或m=1 n=0
故m的五次方+n的五次方=1

Answer 3

由M*M-M-1=0可得M=1/2-根号5/2或1/2+根号5/2
由n*n-n-1=0可得n=1/2-根号5/2或1/2+根号5/2
因为n不等于m,所以
m的五次方+n的五次方=11

Answer 4

因为 m²-m-1=0和n²-n-1=0是相同的两个二元一次式，且Det=b²-4ac=(-1)²-4(-1)=5, 由于5>0,所以此二式有两组不同的解，是：
m=(1+√5)/2或(1-√5)/2，
n=(1+√5)/2或(1-√5)/2，
且m≠n,所以只有：m=(1+√5)/2, n=(1-√5)/2
或者：m=(1-√5)/2, n=(1+√5)/2
这样都有m+n=0, 就是 -m=n
m^5+n^5=m^5+(-m)^5=0
可知，m的五次方+n的五次方的值为0

Answer 5

m^2=m+1 (1) n^2=n+1 (2)
(1)-(2) m^2-n^2=m-n (m-n)(m+n)-(m-n)=0 (m-n)(m+n-1)=0
m+n-1=0 (m≠n,即m-n≠0) m+n=1
m^5+n^5
=m*(m^2)^2+n*(n^2)^2
=m*(m+1)^2+n*(m+1)^2
=m*(m^2+2m+1)+n*(n^2+2n+1)
=m*(m+1+2m+1)+n*(n+1+2n+1)
=3m^2+2m+3n^2+2n
=3m+3+2m+3n+3+2n
=5(m+n)+6=
=5+6
=11
(n^m表示n的m次方)

Answer 6

因式分解法
m*m-m-1=0 1)
n*n-n-1=0 2)
1)-2),得
m^2-m-n^2+n=0
(m+n)(m-n)-(m-n)=0
(m+n-1)(m-n)=0
m+n=1或m=n（舍）

m^5+n^5
=m*(m^2)^2+n*(n^2)^2
=m(m+1)^2+n(n+1)^2
=m(m^2+2m+1)+n(n^2+2n+1)
=m(m+1+2m+1)+n(n+1+2n+1)
=3m^2+2m+3n^2+2n
=3(m+1)+2m+3(n+1)+2n
=5m+3+5n+3
=5(m+n)+6
=5*1+6
=11