第3个回答 2019-12-19
求微分方程 (y²+x²)dx+xydy=0满足Y(1)=1的特解;
解:两边同除以x²得:[(y/x)²+1]dx+(y/x)dy=0............①
令y/x=u,则y=ux;dy=udx+xdu;代入①式得:
(u²+1)dx+u(udx+xdu)=0;整理得:(2u²+1)dx+uxdu=0
分离变量得:dx/x+[u/(2u+1)]du=0
积分之,∫dx/x+∫[u/(2u²+1)]dy=lnx+(1/4)∫d(2u²+1)/(2u²+1)=lnc₁
即有:ln(2u²+1)=4ln(c₁/x)
故得:2u²+1=(c₁/x)^4;
将u=y/x代入即得通解:2(y/x)²+1=(c₁/x)^4;
将初始条件x=1,y=1代入,得 C=c₁^4=3,,故 c=(1/3)^(1/4);
故特解为:2(y/x)²+1=3/x^4;
或改写成:2x²y²+x^4=3;
注:你提供的答案是错的:(y/x)²=2lnx+1;两边对x取导数:2(y/x)[(xy'-y)/x²]=2/x;
化简得:y(xy'-y)=x²,于是得:xyy'-(x²+y²)=0;与原题比较,错个符号。