线性代数，当t为何值时，线性方程组 有无穷多解，并求出此线性方程组的通解。求过程

Question

如题所述

Answer 1

|A| =
|1 1 t|
|1 -1 2|
|-1 t 1|
|A| =
|1 2 t-2|
|1 0 0|
|-1 t-1 3|
|A| = (-1)*
| 2 t-2|
|t-1 3|
A| = -[6-(t-1)(t-2)]=0, 得 t=4，-1.

当 t=-1 时， (A, b) =
[1 1 -1 4]
[1 -1 2 -4]
[-1 -1 1 1]
行初等变换为
[1 1 -1 4]
[0 -2 3 -8]
[0 0 0 5]

r(A)=2, r(A,b)=3, 方程组无解.
当 t=4 时， (A, b) =
[1 1 4 4]
[1 -1 2 -4]
[-1 4 1 16]
行初等变换为
[1 1 4 4]
[0 -2 -2 -8]
[0 5 5 20]
行初等变换为
[1 0 3 0]
[0 1 1 4]
[0 0 0 0]
r(A)=r(A,b)=2<3, 方程组有无穷多解。
方程组同解变形为
x1=-3x3
x2=4-x3,
令 x3=0, 得特解 (0, 4, 0)^T,
导出组即对应的齐次方程是
x1=-3x3
x2=-x3,
令 x3=-1, 得基础解系 (3, 1, -1)^T,
则方程组的通解是 x=(0, 4, 0)^T+k(3, 1, -1)^T，
其中 k 为任意常数。