已知定义域为R的函数f(x)对任意的x，y∈R，f(x)≠0，且f(x+y)=f(x)f(y)，(1)求f(0)，并证明： ； (2)若f

Question

已知定义域为R的函数f(x)对任意的x，y∈R，f(x)≠0，且f(x+y)=f(x)f(y)，(1)求f(0)，并证明： ； (2)若f(x)为单调函数，f(1)=2，向量 ，是否存在实数λ，对任意θ∈[0，2π)，使 恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(1)令y=x=0，得 ， 又∵f(x)≠0， ∴f(0)=1， 由f(x+y)=f(x)f(y)，得 = ， ∵f(x)≠0， ∴ 。 (2)∵f(0)=1，f(1)=2，且f(x)是单调函数， ∴f(x)是增函数， 而 ， ∴ ，即 ， 又∵因为f(x)是增函数， ∴ ≤3恒成立， ， 即 ， 令t=sinθ，得 ，(﹡) ∵ ， ∴ ，即-1≤t≤1， 令 ， ①当 ，即λ＜-2时，只需 ，(﹡)成立， ∴λ+3≥0，解得-3≤λ＜-2； ②当 ，即-2≤λ≤2时，只需 ，(﹡)成立， ∴ ，解得 ， ∴-2≤λ≤2； ③当 ，即λ＞2时，只需 ，(﹡)成立， ∴λ≤3， ∴2＜λ≤3； 综上，-3≤λ≤3。