二次型的矩阵都是实对称的吗

Question

如题，二次型的矩阵都是实对称的吗？
如果是那就是说只要是二次型就都可以使用正交变换化标准形对吗？

Answer 1

实二次型一定可以用实对称矩阵来表示，因为x'Ax=x'[(A+A')/2]x，(A+A')/2肯定是对称的。
实对称矩阵具有良好的性质，所以都用对称矩阵来研究二次型。
由谱分解定理，实对称矩阵可以利用正交变换来对角化，但是做法就不像楼上说的那样简单了。

Answer 2

二次型的系数在实数域上时，对应的二次型矩阵是实对称矩阵，实二次型一定可以用实对称矩阵来表示，因为x'Ax=x'[(A+A')/2]x，(A+A')/2肯定是对称的。实对称矩阵都可以通过可逆线性变换化为标准型，主要的方法有配方法和初等变换法。

Answer 3

当二次型的系数在实数域上时，对应的二次型矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵都可以通过可逆线性变换化为标准型，主要的方法有配方法和初等变换法。很多教材上都有详细的解释，自己多看看、多算算会更清楚。