几道换元法求不定积分的题 明早7点前要 可加分

Question

1.∫dx/(2x+3)^2
2.∫{[(lnx)^2 +1]/x}dx
3.∫dx/[x(1-lnx)]
4.∫ x (2x+3)^(1/4) dx

Answer 1

做了个图片给你，公式比较美观一点。

Answer 2

1. 设a=2x+3, dx=da/2
原式=原函数da/(2a^2)=-1/(2a)=-1/(4x+6)

2. 设lnx=a, x=e^a, dx=e^ada
原式=原函数[(a^2+1)e^ada]/e^a=原函数(a^2+1)da=a^3/3+a=(lnx)^3+lnx

3. 设lnx=a, x=e^a, dx=e^ada
原式=原函数(e^ada)/[e^a(1-a)]=原函数da/(1-a)=-ln(1-a)=-ln(1-lnx)

4. 设(2x+3)^(1/4)=a, 2x+3=a^4, x=(a^4-3)/2,dx=2a^3da
原式=原函数2a^4(a^4/2-3/2)da=原函数(a^8-3a^4)da=a^9/9-3a^5/5
=(2x+3)^(9/4)/9-3(2x+3)^(5/4)/5

Answer 3

1 令t=2x+3,则dt=2dx，所以dx=dt/2代入原式得
∫dt/2t^2=-1/(2t)=1/(4x+3)

2 令t=lnx,则dt=dx/x所以dx=xdt代入原式得
∫(t^2+1)xdt/x=∫(t^2+1)dt=t^3/3+t=(lnx)^3/3+lnx

3 令t=lnx,则dt=dx/x所以dx=xdt代入原式得
∫xdt/x(1-t)=∫dt/(1-t)=ln|t-1|=ln|lnx-1|

4 令t=(2x+3)^(1/4),则x=(t^4-3)/2,所以dx=2t^3dt,
代入原式得∫（t^8-3t^4）dt=t^9/9-3t^5/5
=((2x+3)^(1/4))^9/9-3((2x+3)^(1/4))^5/5