一道很难的因式分解。

Question

(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)

答案是：(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)

详细过程！！（追加20分）

Answer 1

首先要知道一个公式：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

所以(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)

=(a^4+b^4+c^4+2a²b²+2a²c²+2b²c²)-2a^4-2b^4-2c^4

=-a^4-b^4-c^4+2a²b²+2a²c²+2b²c²

=-(a^4+b^4+c^4-2a²b²-2a²c²-2b²c²)

=-[(a^4-2a²b²+b^4)-(2a²c²-2b²c²)+c^4-4b²c²]

=-【[(a²-b²)²-2(a²-b²)c²+c4]-4b²c²】

=-【(a²-b²-c²)²-(2bc)²】

=-(a²-b²-c²-2bc)(a²-b²-c²+2bc)

=-【a²-(b-c)²】【a²-（b+c)²】

=-(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)

=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)

【希望对你有帮助】

Answer 2

这是一个关于a,b,c的对称多项式，选a为主元，应用因式定理来做。
f(a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)
=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4
=-a^4+2a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2

因为f(b+c)=-(b+c)^4+2(b+c)^2(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)^2
=(b+c)^2[-(b+c)^2+2(b^2+c^2)-(b-c)^2]
=0=f(-(b+c)),
可知f(a)有因式(a+b+c)及(b+c-a)，再根据a,b,c的对称性可知还有因式(a+b-c)、（a+c-b)，于是
(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)=k(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
令a=b=0,c=1求得k=1.
即：
(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)