若G为无限循环群,则a的r次方等于a的s次方的充分必要条件是r等于正负s？

Question

如题所述

Answer 1

在a≠e时，应该是s=r；
这是因为G为无限循环群，设其生成元为b，即G=<b>，则 ∀a∈G=<b>且a≠e，有：存在k∈Z且k≠0，使得a=b^k，从而若a^r=a^s，即a^（r-s）=e，即b^(k(r-s))=e，于是由G为无限循环群，必有：k（r-s）=0，因而r-s=0，即r=s；
在a=e时，显然不论r，s为何值，都有a^r=a^s=e

Answer 2

设G的单位元为1，则1^r=1=1^s,其中r,s为任意整数。
命题不成立。
若a^(-s)=a^s,则a^(2s)=1,与G为无限循环群矛盾。