数学题：求二次函数的解析式

Question

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y=x+1上，并且图像经过点（3，-1），求二次函数的解析式
（2）已知二次函数的图像经过点（-3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求二次函数的解析式

Answer 1

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y=x+1上，并且图像经过点（3，-1），求二次函数的解析式
解析：设二次函数为ax^2+bx+c
函数的对称轴x=-b/2a,最大值为2
又图像的顶点在直线y=x+1上，∴-b/2a+1=2==>b=-2a
∵图像经过点（3，-1），∴9a+3b+c=-1==>3a+c=-1==>3a=-c-1
将b=-2a，3a=-c-1代入9a+3b+c=-1解得c=-1
函数最大值为(4ac-b^2)/(4a)=2==>-4a-b^2=8a==>b^2=-12a
∴4a^2=-12a==>a=-3，b=6
∴二次函数的解析式为-3x^2+6x-1

（2）已知二次函数的图像经过点（-3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求二次函数的解析式
解析：设二次函数为ax^2+bx+c
∵图像经过点（-3，0），（1，0）∴9a-3b+c=0 (1),a+b+c=0 (2)
(1)-(2)得2a=b
∵顶点到x轴的距离等于2
函数的对称轴x=-1,∴a-b+c=2==>a+c=b+2
代入（2）得2b+2=0==>b=-1==>a=-1/2==>c=3/2
∴二次函数的解析为-1/2x^2-x+3/2或1/2x^2+x-3/2

Answer 2