(1+x)^1/x的泰勒展开

Question

展开后前面都对，到了x^3时候怎么算不出系数-7/16，有没有详细步骤让我看下。

Answer 1

解题过程如下图：

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

扩展资料

泰勒公式（Taylor's formula） 

形式1:带Peano余项的Taylor公式： 

若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ）内任意一点x(δ>0)，成立下式： 

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值 

(可以反复使用L'Hospital法则来推导)

形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式： 

若 函数f(x）在闭区间[a，b]上有n阶连续 导数，在(a,b)上有n+1阶导数。任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式： 

f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)，

Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。)^(n+1), ξ在x。和x之间，是依赖于x的量。

（注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。）

Answer 2

这个展开没有捷径，你只能逐个化简了。

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

如果  在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数称为  在点x0处的泰勒级数。 

在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数称为麦克劳林级数。函数  的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与  的麦克劳林级数一致。

注意：如果  的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。

一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。例如  ，就可以被展开为一个洛朗级数。

扩展资料：

对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数  ，当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零。

而这个问题在复变函数内并不成立，因为当 z 沿虚轴趋于零时  并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数是因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，  就可以被展开为一个洛朗级数。

基本原理：多项式的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式；

基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主要是收敛性)

参考资料：百度百科——泰勒级数

Answer 3

参考过程。

本回答被提问者采纳