常微分方程的应用，子弹打木板

Question

设子弹以200m/s的速度射入厚为0.1m的木板，受到的阻力大小与子弹速度的平方成正比，如果子弹穿出木板时的速度为80m/s，求子弹穿过木板的时间。
最好有步骤详解。

Answer 1

设子弹穿过木板的时间为T秒，子弹的质量为m千克
dv(t)/dt=a(t)=f(t)/m=(-k/m)*v(t)^2
dv(t)/v(t)^2=(-k/m)dt
∫dv(t)/v(t)^2=∫(-k/m)dt
-1/v(t)=-kt/m+C
因为v(0)=200，所以-1/200=C
1/v(t)=kt/m+1/200
又因为v(T)=80，所以1/80=kT/m+1/200
kT/m=3/400
m=400kT/3
1/v(t)=kt*3/400kT+1/200=3t/400T+1/200=(3t+2T)/400T
v(t)=400T/(3t+2T)
因为∫(0,T) v(t)dt=0.1
∫(0,T) 400T/(3t+2T)dt=0.1
(400T/3)*ln|3t+2T||(0,T)=0.1

(400T/3)*ln(5/2)=0.1
T≈8.2*10^(-4)
答：子弹穿过木板的时间约为8.2*10^(-4)秒