已知数列{an}前n项的和为Sn，且满足Sn=1-nan（n=1,2,3...) 求{an}的通项公式

Question

如题所述

Answer 1

Sn=1-nan (1)

S[n-1]=1-(n-1)a[n-1] (2)

(1)-(2)

an=Sn-S[n-1]=-nan+(n-1)a[n-1]

an/a[n-1]=(n-1)/(n+1)

a[n-1]/a[n-2]=(n-2)/n

a3/a2=2/4

a2/a1=1/3

将上式子左边乘左边，右边乘右边。

an/a1=2/n(n+1) (a1=S1=1-a1 => a1=1/2)

an=1/n(n+1)

乘法的计算法则：

数位对齐，从右边起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐。

两位数的十位相同的，而个位的两数则是相补的（相加等于10）。

（1）分别取两个数的一位，而后一个的要加上一以后，相乘。

（2）两个数的尾数相乘，（不满十，十位添作0），口决：头加1，头乘头，尾乘尾。

Answer 2

解：
由题得：
Sn=1-nan
于是有：
S(n-1)=1-(n-1)a(n-1)
两式相减得：
an=(n-1)a(n-1) - nan
移项后有：
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
于是：
an=[(n-1)/(n+1)]a(n-1)
由前面可得：
an=[(n-1)/(n+1)]a(n-1)
a(n-1)=[(n-2)/(n)]a(n-2)
a(n-2)=[(n-3)/(n-1)]a(n-3)
…… …… ……
a4=[(3)/(5)]a3
a3=[(2)/(4)]a2
a2=[(1)/(3)]a1
连乘得到：
a2.a3.a4.......an=[(1)/(3)]x[(2)/(4)]x[(3)/(5)]x……x[(n-1)/(n+1)]x[a1.a2.a3.......a(n-1)]
=(1x2)[a1.a2.a3.....a(n-1)]/[n(n+1)]
=2[a1.a2.a3.....a(n-1)]/[n(n+1)]
约分后得：
an=2a1/[n(n+1)]
又因为: a1=1/2
代入得：
an=2a1/[n(n+1)]
=1/[n(n+1)]本回答被提问者采纳