齐次线性方程组有无穷多解吗？

Question

如题所述

Answer 1

则AX＝b有无穷多解时，AX＝0有非零解；

理由如下

1、选项A．由AX＝0只有零解，知r（A）＝n，但不能保证1653r（A）＝r（A，b），因此AX＝b也不一定有解，故A错误；

2、选项B．由AX＝0有非零解，知r（A）＜n，但不能保证r（A）＝r（A，b），因此AX＝b也不一定有解，当然也就不一定由无穷多解，故B错误；

3、选项C和D．由AX＝b有无穷多解，知r（A）＝r（A，b）＜n，此时AX＝0有非零解，故C错误，D正确；

齐次线性方程组只有零说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解），即A的秩r（A）＝未知数的个数nA为列满秩矩阵。齐次线性方程组有非零解：即有无穷多解A的秩，小于未知数的个数n。

扩展资料：

假设A是m行n列，X是n维列向量AX＝0只有零解的充要条件是r（A）＝n＝x的个数易知，r（A）小于等于min（m，n）。

因此可知m大于等于nr（A，b），大于等于n，小于等于min（m，n＋1）所以r（A，b）的可能取值为n，n＋1当r（A，b）＝n时，Ax＝b有唯一解当r（A，b）＝n＋1时，Ax＝b无解。