一元三、四次方程求根公式

Question

我只要一元三、四次求根公式的正确形式，不要特殊情况的解。
ax^3+bx^2+cx+d=0
我只要根的判别式Δ和用带有abcd的代数式表示x,不要什么推导过程、特殊形式。
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
我只要根的判别式Δ和用带有abcde的代数式表示x,不要什么推导过程、特殊形式。

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Answer 1

一元三次方程求根公式
卡尔丹公式 (卡尔达诺公式)
特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3

标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0:
令X=Y—b/(3a)代入上式，
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。
【卡尔丹公式】
X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2;
X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。
【卡尔丹判别法】
当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

一元四次方程求根公式
方程为 x^4+b·x^3+c·x^2+d·x+e=0
如果设
P=bd-4e-c&／3
Q=bcd/27+（104／27）·ce-(2/27)·c-be-d
D=-4·P-27·Q
u=√(-13.5·Q＋3/2·√(-3D))
v=√(-13.5·Q－3/2·√(-3D))
y=(u+v-3)／3
N=（1/4）b＋（1/4）·b－c+y－2y＋4·√｛（1/4）·y－e｝－b·√｛（1/4）·y-c+y｝
M=（1/4）b＋（1/4）·b－c+y－2y－4·√｛（1/4）·y－e｝＋b·√｛（1/4）·y-c+y｝
则
X1＝（1/2）·√（（1/4）·b－c＋y）－（1/4）·b+（1/2）·√N
X2＝（1/2）·√（（1/4）·b－c＋y）＋（1/4）·b+（1/2）·√N
X3＝－（1/2）·√（（1/4）·b－c＋y）－（1/4）·b+（1/2）·√N
X4＝－（1/2）·√（（1/4）·b－c＋y）＋（1/4）·b+（1/2）·√N

参考资料：http://baike.baidu.com/view/460155.htm;http://baike.baidu.com/view/1054084.htm