指数函数及性质

Question

如题所述

Answer 1

指数函数其实就是之前学习的一个推广，当底数大于零，可以将指数的取值范围从指数推广到了实数，这就形成了指数函数的形成，对此只有看数学界的定义了。

在此之前有两个前提：

指数函数的底数大于零。
指数函数的底数不能等于一。
数学界指数函数的定义：

一般地，函数

必修一——指数函数以及性质
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只要形式上，符合上图的函数形式，则这种函数就是叫做指数函数。其中x是自变量，并且函数的定义域是R。

三、指数函数的性质

由指数函数的形式可以得出，指数函数的底数要求大于零，并且不等于一，这就让定义域划分为了两部分：

必修一——指数函数以及性质
必修一——指数函数以及性质
由于底数的取值范围，造就了两个区间，因此当底数0<a<1时，函数是一个单调递减的函数，当底数a>1时，函数是一个单调递增的函数。

以其中的a>1作为讨论，指数函数也是函数，既然是函数就按照函数的相关性质进行讨论，在这之前要先说明指数函数的定义域： x∈R

指数函数的第一个性质就是单调性，由图可知，指数函数的单调性由a的取值范围决定的，当a>1时，指数函数是单调递增函数，当0<a<1时，指数函数是单调递减函数。
函数第二个性质就是奇偶性，但从图像上看，并没有奇偶性，就不讨论了。
函数第三个性质就是周期性，同理，从图像上看，也是没有周期性，也不做讨论了。
函数第四个性质就是对称性，从图像上看，也没有对称性，也就不讨论了。
这就是从函数的性质上面进行讨论的，除此之外就需要从指数函数自身的性质进行讨论了。

指数函数的所有的图像都过一个定点（0，1），即x=0时，y=1
第二个专属性质就是单调性由a的取值范围决定的。

Answer 2

指数函数及其性质
（1）指数函数：一般地，函数y=a^x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 R （实数）。”
理解：【1】a^x系数为1，否则不是指数函数；【2】x须在指数位置，且不能是x的其它表达式（即只能是x本身）；【3】a是常数，【4】(为什么要a>0)，如果a=0,指数x≠0时函数值等于0,x=0时函数值无意义，此时自变量就不能取0了。如果a<0,那么a的x次方这个幂将不连续，且出现无法确定是否有意义的不定点。因为负数不能开偶数次方，所以当x是最简分数时，分母为偶数的指数将使得a的x次方无意义。综上：为了指数取值范围为实数所以规定a>0。【5】（a≠1）如果a=1,则y恒等于1,那么这个函数就变成了y=1常数函数，没必要在指数函数中进行研究。
简记：【1】自变量为指数，【2】系数为1，【3】底数为常数，【4】大于零不等于1。