一个四面体怎么求体积？

Question

如题所述

Answer 1

要求四面体的体积，可以使用积分方法来计算。首先，我们需要找到四面体的体积积分表达式。
已知四个顶点的坐标 A=(2,2,2)、B=(0,0,1)、C=(1,1,0)、D=(2,0,0)。我们可以将其中一点作为原点，例如选取点D作为原点。
首先，我们需要确定四面体的基底，并计算该基底的面积。选择向量DA和DB作为基底。基底面积计算公式为：S = 0.5 * ||DA × DB||，其中 × 表示向量的叉乘。
计算 DA 和 DB 的向量差：
DA = A - D = (2, 2, 2) - (2, 0, 0) = (0, 2, 2)
DB = B - D = (0, 0, 1) - (2, 0, 0) = (-2, 0, 1)
计算 DA × DB 的叉乘：
DA × DB = (2*1 - 2*0, 2*(-2) - 0*1, 0*0 - 2*(-2)) = (2, -4, 4)
计算基底面积 S：
S = 0.5 * ||DA × DB|| = 0.5 * √(2^2 + (-4)^2 + 4^2) = 0.5 * √(4 + 16 + 16) = 0.5 * √36 = 0.5 * 6 = 3
接下来，我们需要确定四面体的高。取点C到三角形ABD所在的平面的距离作为高。高的计算公式为：h = |(C - D) · N| / ||N||，其中 · 表示向量的点积。
计算 C 到三角形ABD所在平面的法向量 N：
N = DA × DB = (2, -4, 4)
计算高 h：
h = |(C - D) · N| / ||N|| = |(1, 1, 0) · (2, -4, 4)| / ||(2, -4, 4)|| = |2 - 4 + 0| / √(2^2 + (-4)^2 + 4^2) = 6 / √36 = 6 / 6 = 1
根据体积的计算公式 V = 1/3 * S * h，代入已计算的结果，得到：
V = 1/3 * 3 * 1 = 1
因此，给定四个顶点的坐标 A=(2,2,2)、B=(0,0,1)、C=(1,1,0)、D=(2,0,0) 的四面体的体积为 1。