为什么特征向量的个数要小于等于特征值的重数？

Question

如题所述

Answer 1

因为特征向量的个数大于重数，特征向量就没有意义。

矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

随着地球的自转，除了在转轴上的两个箭头，每个从地心往外指的箭头都在旋转。

考虑地球在自转一小时后的变换：地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量，但是从地心指向赤道上任何一点的箭头不会是一个特征向量。又因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，所以它的特征值是1。

另一个例子是，薄金属板关于一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。这个伸展是一个具有特征值2的变换。从该固定点到板上任何一点的向量都是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。

但是，三维几何空间不是唯一的向量空间。例如，考虑弦乐器（如小提琴、吉他、尤克里里）的弦，振动弦的原子到它们在弦静止时所处的位置的带符号的那些距离视为一个空间中的一个向量的分量，那个空间的维数就是弦上原子的个数。

如果考虑弦随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波——即那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减小。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。

希望我能帮助你解疑释惑。

追问

有没有证明啊

追答

这是特征向量的定义，不需要证明。希望我能帮助你解疑释惑。