反三角函数的积分怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

先用反函数技巧求导
再利用分布积分法
以arcsin为例
1、先求出y=arcsinx的导数
因为y=arcsinx，
所以得到siny=x
等式两边对x求导
y'cosy=1
可得y'=1/cosy=1/√(1-sin^2(y))
可得y'= 1/√(1-x^2)
2、开始求∫arcsinxdx
分部积分法
∫arcsinxdx
=xarcsinx-∫xdarcsinx
=xarcsinx-∫x√(1-x^2)dx
=xarcsinx+√(1-x^2)+C

Answer 2

反三角函数的积分可以通过一些基本的积分公式来求。以下是一些基本的反三角函数的积分公式：
1. 反正弦函数：$\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C$
2. 反余弦函数：$\int \arccos(x) \, dx = x \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} + C$
3. 反正切函数：$\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$
这里，$C$ 是积分常数，表示不定积分的常数部分。
如果你遇到更复杂的反三角函数的积分，可能需要使用一些更高级的积分技巧，如部分积分、换元法等。在使用这些公式时，最重要的是确保你正确地应用了它们，并在必要时进行适当的代数简化和整理。
需要注意的是，反三角函数的积分可能会涉及到复杂的算术和代数运算，所以在进行这些积分时一定要小心。